9、量子图灵机停机与自动机滤波子的研究

量子图灵机停机与自动机滤波子的研究

量子图灵机停机相关理论

在量子计算领域，量子图灵机（QTM）的停机问题是一个关键研究点。有定理表明，如果QTM $M(Q, Σ, δ)$ 的时间演化 $U$ 满足停机条件，那么非监测输出概率与监测输出概率是一致的。这意味着，遵循停机协议进行计算，在 $N$ 步内找到输出 $y$ 的概率，等同于在 $N$ 步后对 $\hat{T}(S)$ 进行单次测量找到输出 $y$ 的概率。也就是说，在任何遵循停机协议的计算中，对停机标志的测量虽然会根据投影假设改变QTM的量子态，但不会影响计算结果。

不过，Linden和Popescu曾指出，之前提出的停机方案与演化算符的幺正性不一致。但他们的观点仅适用于停机后整个磁带都不允许改变的特殊情况。实际上，在一般情况下，只要数据槽之外的磁带允许改变，就能得到有效的结论。本文明确处理了这种通用形式的停机协议，证明了即使在这种情况下，对停机标志的测量也不会影响计算。

Deutsch提出，如果量子算法满足他的停机条件，那么该算法是有效的。我们重新精确表述了他的停机条件，并证明对于“有效”的QTM，我们可以在不影响计算的情况下知道计算何时完成，从而从原理上消除了Myers关于在停机量子比特和非停机量子比特的纠缠态中测量停机标志会破坏计算的批评。

然而，Linden和Popescu也指出，将停机协议应用于一般的量子图灵机存在困难。他们表明，在非常严格的情况下，停机条件与演化算符的幺正性不一致。但这种困难源于量子计算可逆性的一些非本质方面。从量子算法设计者的角度来看，计算完成后QTM的时间演化是不需要的。如果将“有效”输出概率定义为在所有计算路径上计算完成足够长时间后的非监测输出概率，那么这个概率很容易被时