17、线性阈值多秘密共享方案解析

线性阈值多秘密共享方案解析

在当今数字化时代，信息安全至关重要，而多秘密共享方案是保障信息安全的重要手段之一。本文将深入探讨线性阈值多秘密共享方案，包括最优 w - 安全 (2, 3, n) 多阈值方案以及 w - 安全 (t, k, n) 多阈值方案的构建与安全性证明。

基本概念与定理基础

在构建多秘密共享方案时，我们需要一些基本的线性代数概念，如对偶向量空间和张量积。同时，会用到一些定理来保证方案的正确性和安全性。

假设对于所有的 (i \in U) 和 (P \in J)，(E)、(E_i)、(E_0)、(\pi_P) 和 (\varphi_i) 是公开已知的。随机选择一个元素 (x \in E)，(P \in J) 的秘密是 (\pi_P(x))，用户 (i) 的份额是 (\varphi_i(x))。

设 (A = {i_1, \ldots, i_r}) 是用户的一个子集，定义映射 (\varphi_A : E \to E_{i_1} \times \cdots \times E_{i_r}) 为 (\varphi_A = \varphi_{i_1} \times \cdots \times \varphi_{i_r})。由于对于所有的 (i \in U)，(\varphi_i) 是满射的，所以对于所有的 (A \subset U)，(\varphi_A) 也是满射的。

对于给定的 (P \in J)，(\Gamma_P) 和 (\Delta_P) 分别是授权和未授权子集的集合。如果 (A \in \Gamma_P)，根据引理 5，当且仅当 (\ker\varphi_A \subset \ker\pi_P) 时，可以从 (\varp