15、二分秘密共享方案的优化研究

二分秘密共享方案的优化研究

1. 二分秘密共享方案基础

首先定义集合 (P_1 = {p_1, \ldots, p_{N_1}}) 和 (P_2 = {q_1, \ldots, q_{N_2}})，其中 (N_1 = |P_1|)，(N_2 = |P_2|)，假设 (N_1 \geq x_2) 且 (N_2 \geq y_1)。选取一个有限域 (K)，其大小大于 (N_1 + x_2 - x_1) 和 (N_2)。再定义 (r = x_1)，(t = x_2 - x_1)，(u = y_1)。设 (E_{p_0}) 是一个维度为 (t) 的 (K) - 向量空间。对于 (E_{p_0}) 中的每个 ((s_1, \ldots, s_t))，通过两个方案 (\Sigma_1) 和 (\Sigma_2) 在参与者 (P) 之间进行共享。
- 方案 (\Sigma_1)：
- 设 (k \in K) 为 (\Sigma_1) 的秘密，选取 (k_1, k_2 \in K) 使得 (k = k_1 + k_2)。
- 随机均匀选取多项式：
- 次数为 (t + u - 1) 的 (g)，满足 (g(0) = k)。
- 次数为 (r - 1) 的 (f) 和 (h)，满足 (f(0) = k_2)，(h(0) = k_1)。
- 在 (K \setminus {0}) 中选取 (x_1, \ldots, x_{N_1}) 和 (y_1, \ldots, y_{N_2})，使得 (i \neq j) 时 (x_i \neq x_j) 且 (y_i \neq y_j)。对于 (i = 1, \ldots, N_1)，参与者 (p_i)