浅谈排列组合

概念：

$A\binom{n}{m}$ 表示从m个 不同 元素中 取n个 并按一定顺序排成的 不重复的 方案数 ——称之为排列
$C\binom{n}{m}$ 表示从m个 不同 元素中 取n个 不重复的 方案数 ——称之为组合

区分概念：

排列强调了“顺序”的方案数，而组合则没有
抽象直观地，
$A\binom{2}{2} = 2$
$C\binom{2}{2} = 1$
形象地理解，如集合{ $1,2$}{ $2,1$}是两种排列，但在组合当中只算一种

公式：

$A\binom{n}{m}=\begin{matrix}m(m-1)(m-2)...(m-n+1)\end{matrix}= \frac{m!}{(m-n)!}$
$C\binom{n}{m}=\frac{\begin{matrix}m(m-1)(m-2)...(m-n+1)\end{matrix}}{n!}= \frac{m!}{n!(m-n)!}$

理解 ：

排列——

对于排列的计算公式，我们可以通过掌握概念后这么理解：
把$m$个数摆在$n$个格子里 (其中$m>=n$)，那么对于第一个格，我可以有$m$种选法，第二个格我有$m-1$种选法，第三个格有$m-2$种选法，对于第$n$个格，我就有$m-n+1$种选法。那么根据乘法原理，因为数互不重复，故选法无重复，故公式得证

组合——

对于组合，在理解了排列后，我们可以这么理解：
我现在排列出来的方案数$tot$种里，会有多少种重复呢？显然，对于$n$个格子里任填的$n$个数，一定有$n！$种排列，因为对于任意的n个数，都有$n！$次重复，我们只选其中一种，故组合的答案为$tot/(n!)$，公式得证

对于排列组合的理解，一定要加深研究，在似懂非懂的情况下，多举几个例子，在头脑中形象地帮助理解并巩固记忆。

如下，

$$A\binom{3}{4}=4*3*2=24$$ $$C\binom{3}{4}=4*3*2/3*2*1=4$$
缜密想想，为什么组合会比排列少了那么多？

意义：

排列组合的有关解法在数论方面应用的很广，也是考察选手思维的一种很好的题目类型，通常要求选手熟练掌握排列组合公式，在此基础上进行扩展，如组合排列的加法，乘法，以及一些基本的性质等，再通过这些后深度的拓展结合成一道美轮美奂的数学题，有时难度并不小。

性质：

一些特殊的规定，$A\binom{m}{m}=m!$,$C\binom{0}{m}=1$

对于排列组合，有一些必须掌握的基本性质
如：

性质1：$A\binom{n}{m}=C\binom{n}{m}*A\binom{n}{n}$
证：
$∵A\binom{n}{m}= \frac{m!}{(m-n)!}，C\binom{n}{m}= \frac{m!}{n!(m-n)!}，C\binom{n}{n}=n!$
$∴C\binom{n}{m}*A\binom{n}{n}=\frac{m!}{(m-n)!}=A\binom{n}{m}$

性质2：$C\binom{n}{m}=C\binom{m-n}{m}$
证：
∵C(nm)=m!n!(m−n)!，C(m−nm)=