最快过桥问题

题目：

4个人在晚上过一座小桥，过桥时必须要用到手电筒，只有一枚手电筒，每次最多只可以有两人通过， 4个人的过桥速度分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，试问最少需要多长时间4人才可以全部通过小桥？

 

抽象：

N个人过桥，每个人过桥需要的时间为ti（1<=i<=N）.每次最多两个人过桥，并且还要回来一个。求最快过桥时间。

 

输入：每人过桥时间数组，人数（数组元素个数）。

输出：最快时间。

 

解析：

 

最佳方案构造：以下是构造N个人(N≥1)过桥最佳方案的方法：　　
1) 如果N=1、2，所有人直接过桥。　　
2) 如果N=3，由最快的人往返一次把其他两人送过河。　　
3) 如果N≥4，设A、B为走得最快和次快的旅行者，过桥所需时间分别为a、b；
 而Z、Y为走得最慢和次慢的旅行者，过桥所需时间分别为z、y。那么　　　　
 当2b＞a+y时，使用模式一将Z和Y移动过桥；　　　　
 当2b＜a+y时，使用模式二将Z和Y移动过桥；　　　　
 当2b＝a+y时，使用模式一将Z和Y移动过桥。

这两个模式是把最慢的两个人送过河，其他人原地不动最省时的两种可能的方法。
这样就使问题转变为N-2个旅行者的情形，从而递归解决之。
　    ……　　　　　　　　　
    A Z →　　　　　　　　　　
    A ←

    A Y →　　　　　　　　　　
    A ←　　　　　　　　　　
    ……

也就是“由A护送到对岸，A返回”，称作“模式一”。

模式一所用的时间是z+a+c+a

    ……　　　　　　　　　　
    ……　　
第n-2步：　　　A B →　　　
第n-1步：　　　　A ←　　　　
第n步：　　　  Y Z →　　
第n+1步：　　　　B ←　　　　　　　　　　
    ……
这个模式是“由A和B护送到对岸，A和B返回”，称作“模式二”。

模式二所用的时间是b+d+a+b

比较两个模式所使用的时间，便可得出：

当2b＞a+y时，使用模式一将Z和Y移动过桥；　　　　
 当2b＜a+y时，使用模式二将Z和Y移动过桥；　　　　
 当2b＝a+y时，使用模式一将Z和Y移动过桥。

算法代码：

#include <vector>
int TravelBridge(std::vector<int> times)
{
	// 假设时间数组已经排序
	size_t length = times.size();
	if(length <= 2)
		return times[length-1];
	else if(length == 3)
	{
		return times[0] + times[1] + times[2];
	}
	else
	{
		int totaltime = 0;
		int a = times[0];
		int b = times[1];
		int z = times[length-1];
		int y = times[length-2];
		if(b*2 < a + y)
		{
			times.erase(times.end()-1);
			times.erase(times.end()-1);
			totaltime += b + a + z + b + TravelBridge(times);
		}
		else
		{
			times.erase(times.end()-1);
			totaltime += z + a + TravelBridge(times);
		}
		return totaltime;
	}
}

参考链接：http://blog.youkuaiyun.com/wcyoot/article/details/6428248