MT【224】反解系数

(2011安徽省赛)
$f(x)=ax^3+bx+c(a,b,c\in R),$当$0\le x \le 1$时,$0\le f(x)\le 1$,求$b$的可能的最大值.

提示:取三个点$f(0),f(1),f(\dfrac{\sqrt{3}}{3})$,反解系数得

$2\sqrt{3}b=9f(\dfrac{\sqrt{3}}{3})-\sqrt{3}f(1)-(9-\sqrt{3})c\le9 $得$b\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
注:关键的$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$由图像可得.
方法2：$f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(t)=at^3+bt+c,(0<t<1)$,
得$(t-t^3)b=f(t)-t^3f(1)-(1-t^3)f(0)\le f(t)\le1$恒成立.
故$b\le \left(\dfrac{1}{t-t^3}\right)_{min}$故$b\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$当$c=0,t=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$时取到.

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