伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布、Gamma分布的联系

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本文深入探讨了伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和Gamma分布等离散概率分布的概念及应用。从伯努利分布的基础出发，逐步介绍了其在多次重复实验中的扩展——二项分布，以及在事件频率极低情况下的极限形式——泊松分布。进一步，文章解释了指数分布如何描述事件发生间隔的概率，并讨论了Gamma分布作为多次事件间隔概率的累积。

伯努利分布：0-1分布；伯努利分布是二项分布在N=1时的特例；随机变量为取值为0或者1。

二项分布：N次重复且独立的伯努利实验，随机变量为在N次实验中出现某种情况（概率为p）的次数K。

泊松分布：二项分布的极限形式（N趋于无穷大，P趋于0）；描述在一段给定时间t内，事件发生K次的概率。将时间段分割成很多个小的时间段，在不同的小时间段里，事件可发生可不发生（概率很小），事件的发生与否相互独立，且事件发生的概率与该小时间段的长度成正比；参数lambda表示一个时间段内时间平均发生的次数。

指数分布：描述两次事件发生间隔的概率；由泊松分布可以推导出指数分布，因为在事件发生的间隔t内没有事件发生，意味着泊松分布的随机变量K取值为0，事件在时间 t 之内发生的概率 P(T<t) = 1- P(T>t) = 1- P(K=0) = 1- e^(-λt)

指数分布常常用来描述电器寿命；指数分布和几何分布一样具有无记忆性

Gamma分布：不同于指数分布描述的“某次事件发生后，距离下一次发生的时间间隔的概率”，Gamma分布描述的是“N次事件发生的时间间隔的概率”，意味着Gamma分布可以看做是N个独立的指数分布随机变量的加总。不同于泊松分布中lambda给定的情况，在Gamma分布中lambda也是随机变量，由此可知Gamma分布中的两个随机变量：单位时间内事件发生的次数N，单位时间内事件发生的平均次数lambda。