高级算法基础——动态规划基础 (信息学奥赛一本通)

原创

已于 2022-03-27 14:53:27 修改 · 876 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#c++ #动态规划

于 2022-03-24 22:15:31 首次发布

例1 金字塔最短路

【题目描述】

观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。

【输入】

第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

【输出】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】

5
13
11 8
12 7  26
6  14 15 8
12 7  13 24 11

【输出样例】

方法一：纯搜索

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1005
typedef long long ll;

int a[MAXN][MAXN];
int n,ans;

int dfs(int x,int y,int sum)
{
	if(y > x)
	{
		return 0;
	}
	if(x == n)
	{
		ans = max(ans,sum);
		return 0;
	}
	dfs(x + 1,y,sum + a[x + 1][y]);
	dfs(x + 1,y + 1,sum + a[x + 1][y + 1]);
}

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= i;j++)
		{
			cin >> a[i][j];
		}
	}
	dfs(1,1,a[1][1]);
	cout << ans << endl;
    return 0;
}

时间复杂度：O( $2^{n-1}$ )

方法二：记忆化搜索

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1005
typedef long long ll;

int a[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN];
int n;

int dfs(int x,int y)
{
	if(f[x][y] == -1)
	{
		if(x == n)
		{
			f[x][y] = a[x][y];
		}
		else
		{
			f[x][y] = a[x][y] + max(dfs(x + 1,y),dfs(x + 1,y + 1));
		}
	}
	return f[x][y];
}

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= i;j++)
		{
			cin >> a[i][j];
			f[i][j] = -1;
		}
	}
	dfs(1,1);
	cout << f[1][1] << endl;
    return 0;
}

时间复杂度：O( $n^{2}$ )