老鼠试药问题

三十瓶药,其中一瓶有毒,老鼠食用后一个小时后死亡。问,一个小时内,至少用几只老鼠可以试出哪瓶有毒。

将三十瓶药按0~29编号,并转为二进制:

准备五只老鼠,分别对应二进制的五位。

1号老鼠:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29

2号老鼠:2,3,6,7,10,11,14,15,18,19,22,23,26,27

3号老鼠:4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,28,29

4号老鼠:8,9,10,11,12,13,14,15,24,25,26,27,28,29

5号老鼠:16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29

举例说明,如果只有鼠1死亡,说明药1有毒。如果鼠1和鼠3死亡,说明药5有毒。如果鼠3、鼠4和鼠5死亡,说明药28有毒。如果没有老鼠死亡,说明药0有毒。

二进制面试题里,老鼠毒药问题是一个经典的逻辑推理问题问题通常表述为:有若干瓶液体,其中一瓶是毒药,其余为正常液体。使用老鼠来试毒,每只老鼠可以喝多瓶液体的混合液,根据老鼠的生死状态来确定哪一瓶是毒药。 以有 8 瓶液体,其中 1 瓶是毒药为例。我们可以用 3 只老鼠来找出毒药。将 8 瓶液体从 0 - 7 编号,对应的二进制表示分别为: - 0 号:000 - 1 号:001 - 2 号:010 - 3 号:011 - 4 号:100 - 5 号:101 - 6 号:110 - 7 号:111 让第一只老鼠二进制表示中第一位为 1 的液体(即 4、5、6、7 号),第二只老鼠二进制表示中第二位为 1 的液体(即 2、3、6、7 号),第三只老鼠二进制表示中第三位为 1 的液体(即 1、3、5、7 号)。 如果第一只老鼠死了,说明毒药在 4、5、6、7 号中;如果没死,说明毒药在 0、1、2、3 号中。同理,根据第二只和第三只老鼠的生死情况,可以进一步缩小范围。最后根据三只老鼠的生死状态组合成一个二进制数,这个二进制数对应的十进制编号就是毒药所在的瓶子。例如,第一只和第二只老鼠死了,第三只没死,对应的二进制数是 110,即 6 号瓶子是毒药。 从原理上来说,每只老鼠喝了水之后的反应(生或死)可以用来判断每一个二进制位的数字,不管生死,总能得出这个位的值是 0 还是 1。每使用一只老鼠都将问题规模缩小为原来的 1/2,这是典型的二分法应用 [^1]。 ```python # 模拟老鼠试毒过程 def find_poisoned_bottle(num_bottles, num_mice, poisoned_bottle): # 初始化老鼠的生死状态 mice_states = [False] * num_mice # 遍历每一瓶液体 for bottle in range(num_bottles): # 如果是毒药瓶 if bottle == poisoned_bottle: # 找到该瓶子二进制表示中为 1 的位 for i in range(num_mice): if (bottle >> i) & 1: mice_states[i] = True # 根据老鼠的生死状态确定毒药瓶 result = 0 for i in range(num_mice): if mice_states[i]: result += (1 << i) return result # 测试 num_bottles = 8 num_mice = 3 poisoned_bottle = 6 print(f"找到的毒药瓶编号是: {find_poisoned_bottle(num_bottles, num_mice, poisoned_bottle)}") ```
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