43、机器学习中的混合模型与聚类方法

机器学习中的混合模型与聚类方法

在机器学习领域，混合模型和聚类方法是处理复杂数据的重要工具。本文将深入探讨几种常见的模型，包括专家混合模型、指示模型、混合成员模型等，并介绍它们的原理、应用和学习方法。

1. 专家混合模型

专家混合模型是对输入依赖混合权重的扩展。对于输出 $y$（离散类别或连续回归变量）和输入 $x$，其一般形式为：
[p(y|x, W, U) = \sum_{h=1}^{H} p(y|x, w_h)p(h|x, U)]
其中，$h$ 索引混合组件，每个专家 $h$ 有参数 $w_h$，$W = [w_1, \ldots, w_H]$，对应的门控参数为 $u_h$，$U = [u_1, \ldots, u_H]$。与标准混合模型不同，组件分布 $p(h|x, U)$ 依赖于输入 $x$，通常采用 softmax 形式：
[p(h|x, U) = \frac{e^{u_h^T x}}{\sum_{h} e^{u_h^T x}}]
其思想是有一组 $H$ 个预测模型（专家）$p(y|x, w_h)$，每个模型有不同的参数 $w_h$。模型 $h$ 对输入 $x$ 的输出预测的适用性由输入 $x$ 与权重向量 $u_h$ 的对齐程度决定，从而将输入 $x$ 软分配到合适的专家。

1.1 参数学习

最大似然训练可以使用 EM 算法的一种形式实现。对于单个数据点 $x$，EM 能量项为：
[\langle \log p(y|x, w_h)p(h|x, U) \rangle_{p(h|x,W_{old},U_{old})}]
对于回归，一个简单的选择是：
[p(y|x, w_h) = \math