35、数据降维与分类的方法与应用

数据降维与分类的方法与应用

1. 引言

在数据分析和机器学习领域，数据降维是一项重要的技术，它可以帮助我们减少数据的维度，提高计算效率，同时保留数据的重要信息。而在有类别信息的情况下，如何利用这些信息进行更有效的降维，以提高分类的准确性，也是一个关键问题。本文将介绍几种常见的数据降维方法，包括核主成分分析（Kernel PCA）、典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）以及监督线性投影和 Fisher 线性判别等方法。

2. 核主成分分析（Kernel PCA）

核主成分分析是主成分分析（PCA）的非线性扩展，旨在发现数据中的非线性子空间。以下是其主要步骤：
1. 特征映射 ：将原始数据向量 $x$ 映射到更高维的特征向量 $\tilde{x} \equiv \varphi(x)$。例如，对于二维向量 $x = [x_1, x_2]^T$，可以使用如下映射：
[
\varphi(x) = [x_1, x_2, x_1^2, x_2^2, x_1x_2, x_1^3, \cdots]^T
]
2. PCA 计算 ：在高维特征向量上进行 PCA 分析。对于零均值数据，样本矩阵的特征分解为 $S = \frac{1}{N}\tilde{X}\tilde{X}^T$。为了找到第一个主成分 $\tilde{e}$，满足 $\tilde{X}\tilde{X}^T\tilde{e} = \lambda’\tilde{e}$（其中 $\lambda’ = N\lambda$）。通过预乘 $\tilde{X}^T$，得到对偶