12、概率图模型中的推理算法与实现

概率图模型中的推理算法与实现

1. 最优路径概率计算与混合推理

在概率图模型中，我们可以高效地计算所有起始状态 a 和结束状态 b 在 t 个时间步后的最优路径概率。要找到对应的最优路径，可以像之前一样进行回溯操作，相关代码可参考 mostprobablepathmult.m 和 demoMostProbablePathMult.m 。同时，我们也可以使用相同的算法，通过对负边权重取指数的方式，来解决多源多汇的最短加权路径问题，这是 Floyd - Warshall - Roy 算法的一种变体。

在实际应用中，我们经常会遇到混合推理的情况，即推断联合边缘的最可能状态，可能还会给定一些证据。例如，给定分布 p(x1, ..., xn) ，我们需要找到：
[
\arg\max_{x_1,x_2,\cdots,x_m} p(x_1, x_2, \cdots, x_m) = \arg\max_{x_1,x_2,\cdots,x_m} \sum_{x_{m + 1},\cdots,x_n} p(x_1, \cdots, x_n)
]
一般来说，即使对于树结构的分布 p(x1, ..., xn) ，也无法高效地计算最优边缘状态。这是因为求和操作使得得到的联合边缘不具有以边缘变量的简单函数乘积形式的结构化因式分解。因此，找到最可能的联合边缘需要对所有联合边缘状态进行搜索，这是一个时间复杂度随 m 呈指数增长的任务。对于这种情况，EM 算法