6、概率模型与信念网络：条件独立性与图形分析

概率模型与信念网络：条件独立性与图形分析

1. 修正模型与概率计算

在概率模型中，我们可以使用修正后的模型结合 Jeffrey 规则来计算基于证据的模型。具体来说，条件概率 (p(B, A|H, G)) 可通过以下公式计算：
[p(B, A|H, G) = \frac{p(B)p(A|B)p(G|A)p(H|A)}{\sum_{A,B} p(B)p(A|B)p(G|A)p(H|A)}]
当引入不确定证据 (\tilde{G}) 时，最终模型为：
[p(B, A|H, \tilde{G}) = \sum_{G} p(B, A|H, G)p(G|\tilde{G})]
进而可以计算边缘概率 (p(B|H, \tilde{G}))：
[p(B|H, \tilde{G}) = \sum_{A} p(B, A|H, \tilde{G})]

2. 信念网络的定义与表示

信念网络是一种形式为 (p(x_1, \ldots, x_D) = \prod_{i=1}^{D} p(x_i|pa(x_i))) 的分布，其中 (pa(x_i)) 表示变量 (x_i) 的父变量。它可以用有向无环图（DAG）表示，图中的第 (i) 个节点对应因子 (p(x_i|pa(x_i)))。

这里需要注意的是，信念网络存在一些微妙的点。它既可以对应特定的分布实例，需要数值指定条件概率表；也可以指与指定结构一致的任何分布。我们可以区分信念网络分布（包含数值指定）和信念网络图形（不包含数值指定），这在澄清独立性/依赖性陈述的范围时可能很重要。

在多变量情况下，分布的因式分解有多种选择。例如，对于四个变量 (x_1, x_2, x_