15、高斯过程与函数数据分析：回归、分类及相关方法

高斯过程与函数数据分析：回归、分类及相关方法

1. 回归分析

在回归分析中，我们将 (m_X = m(x) = 0) 代入高斯过程的平均公式（6.3），得到一个方程。同时，将核岭回归公式（4.6）左乘 (k_{x,X}) 得到 (k_{x,X} \hat{\alpha} = k_{xX}(K + \lambda I)^{-1}Y)。当设置 (\lambda = \sigma^2) 时，前者是后者的一个特定情况。

下面是一个简单的流程说明：
1. 代入 (m_X = m(x) = 0) 到高斯过程平均公式。
2. 对核岭回归公式左乘 (k_{x,X})。
3. 设置 (\lambda = \sigma^2) 进行对比。

通过这样的操作，我们可以更清晰地看到两者之间的关系。

2. 分类问题

2.1 基本假设与负对数似然最小化

我们考虑分类问题，假设随机变量 (Y) 取值为 (Y = \pm1)，其在 (x \in E) 条件下的概率为 (P(Y = 1|x) = \frac{1}{1 + \exp(-f(x))})，这里使用了高斯过程 (f : \Omega \times E \to \mathbb{R})。为了从实际的 (x_1, \ldots, x_N \in \mathbb{R}^p)（行向量）和 (y_1, \ldots, y_N \in {-1, 1}) 中估计 (f)，我们最大化似然，即最小化负对数似然：
(\sum_{i=1}^{N} \log[1 + \exp{-y_i f(x_i)}])

设 (f_X = [f_1, \ldots, f_N