1、机器学习中的正定核：原理与应用

机器学习中的正定核：原理与应用

在数据处理和信息分析领域，核函数是评估对象间相似度的重要工具。本文将深入探讨正定核的相关知识，包括矩阵的正定性、核函数的定义、正定核的特性以及常见的正定核示例，并介绍通过交叉验证优化核参数的方法。

1. 矩阵的正定性

在数学中，对于一个 $n \geq 1$ 的方阵 $A \in R^{n\times n}$，若其等于自身的转置（$A^T = A$），则称该矩阵为对称矩阵；若其所有特征值均为非负，则称该矩阵为非负定矩阵。

以下三个条件对于对称矩阵 $A \in R^{n\times n}$ 是等价的：
1. 存在矩阵 $B \in R^{n\times n}$，使得 $A = B^TB$。
2. 对于任意 $x \in R^n$，有 $x^TAx \geq 0$。
3. 矩阵 $A$ 的特征值均为非负。

证明过程如下：
- 1. $\Rightarrow$ 2.：因为 $A = B^TB$，所以 $x^TAx = x^TB^TBx = |Bx|^2 \geq 0$。
- 2. $\Rightarrow$ 3.：由于 $x^TAx \geq 0$，对于矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 及其特征向量 $y \in R^n$，有 $0 \leq y^TAy = y^T\lambda y = \lambda |y|^2$。
- 3. $\Rightarrow$ 1.：设 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n \geq 0$，则 $A = PDP^T = P\sqrt{D}\sqrt{D}P^T = (\sqrt{D}P^T)^T\sqrt{D}P