11、另一种有用的四值逻辑：F逻辑的深入剖析

另一种有用的四值逻辑：F逻辑的深入剖析

1. 四值逻辑FOUR简介

Belnap的四值逻辑FOUR（{t, f, ⊥, ⊤}，≤t，≤k）是一个双格。它有两个偏序关系 ≤t 和 ≤k。
- 在真值度量 ≤t 中，t 是最大元素，f 是最小元素，⊤ 和 ⊥ 是两个不可比的中间元素。
- 在知识（或信息）度量 ≤k 中，⊤ 表示知识过剩导致矛盾出现，是最大元素；⊥ 表示没有相关知识，是最小元素；t 和 f 是不可比的中间元素。

可以通过经典逻辑格（{t, f}，f ≤t）来表示 FOUR，具体定义如下：
- t = (t, f)，f = (f, t)，⊤ = (t, t)，⊥ = (f, f)；
- (a1, b1) ≤t (a2, b2) ⇔ a1 ≤ a2 且 b2 ≤ b1；
- (a1, b1) ≤k (a2, b2) ⇔ a1 ≤ a2 且 b1 ≤ b2；其中 ai, bi ∈ {t, f}（i = 1, 2）。

从哲学角度看，确认或否定一个陈述有两种方式。直观上，我们可以将 FOUR 中的 (a, b) 理解为关于某个陈述真值的两个独立判断：a 代表支持该陈述的信息，b 代表反对该陈述的信息。

2. 四值逻辑 F 的引入

我们引入四值逻辑 F，它与 FOUR 不同。在技术上，定义 F 的框架语义为 M = (M +, M -)，其中 M + 是“支持陈述的信息”框架，M - 是“反对陈述的信息”框架。

F 的命题语言 L 包含逻辑连接词 ∼（否定）、≀（合并）、→（蕴含）、∧（合取）、∨（析取）、↔（等价），以及原始常量 t, f, ⊥, ⊤。L 的公式由以