编辑距离及其回溯路径

编辑距离（Edit Distance），是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。允许对字符串中的字符进行的的操作只有替换、插入、删除三种操作。 编辑距离的计算方法和原理网上都有很多介绍，不再赘述。

假设计算        

 str1=bcdabcdef 

         str2=abcdefbcd

的编辑距离，先要构建如下图的矩阵

       把str2变为str1，将str2写在横行，str1写在竖列

之后每个元素的值按照下式计算

<span style="font-size:18px;">　　//计算替换操作的代价，如果两个字符相同，则替换操作代价为0，否则为1
　　if str1[i]== str2[j] then cost := 0
　　else cost := 1
　　//d[i,j]的Levenshtein距离，可以有
　　d[i, j] := minimum(
　　d[i-1, j] + 1, //在str2上j位置删除字符（或者在str1上i-1位置插入字符）
　　d[i, j-1] + 1, //在str2上j-1位置插入字符（或者在str1上i位置删除字符）
　　d[i-1, j-1] + cost // 替换操作</span>

即每一位的值由其左侧、上侧和左上角的数值决定，取以下三个值的最小值：

• 如果最上方的字符等于最左方的字符，则为左上方的数字。否则为左上方的数字+1。（对于3,3来说为0）
• 左方数字+1（对于3,3格来说为2）
• 上方数字+1（对于3,3格来说为2）

之后会得到完整的距离矩阵，最右下角的值即为编辑距离。如下图，str1和str2的编辑距离即为5。

找到编辑距离后要想明白实际是怎样操作的，就需要找到回溯路径。寻找回溯路径时要从右下角的元素开始，依次看当前元素是如何得到的，有时一个元素可能有多种得到的方式，即表明可以有多种操作可以得到相同的结果。上图的红色箭头即为回溯路径。将回溯路径再反过来就可得到实际编辑操作的路径。

编辑过程：

str2=a  b  c  d  e  f  b  c  d

str1=b  c  d  a  b  c  d  e  f

  1、向左走，即 d[ 1,1] = d[ 1-1,1 ]+1 , str2 要删除第一个字符，变为 bcdefbcd

  2、斜向下，且值未变，说明相同，不用操作

str2 =b  c  d  e  f  b  c  f

str1 =b  c  d  a  b c  d  e  f

  3、 d 之后向左，即删除 e

  4、斜向下，且值加1，表示替换,将f换为a

str2 =b  c  d  a  b  c  f

str1 =b  c  d  a  b  c  d  e  f

  5、最后两步向下，表示添加，此处添加 e， f

str2 = b  c  d  a  b  c  f  e  f

str1 = b  c  d  a  b  c d  e  f

共5步操作。