该文介绍了使用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应控制规律的过程，针对控制对象和参考模型的状态方程，通过推导得出自适应控制的离散化形式。在MATLAB环境中进行仿真实验，分析了可调系统状态与参考模型的跟踪性能，揭示了自适应控制在特定条件下的局限性。
自适应控制——仿真实验一 用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律
一、问题描述
设控制对象的状态方程为
x ˙ p = A p ( t ) x p + b p ( t ) u (1) \dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\boldsymbol{A}_{p}(t) x_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) u \tag{1} x˙p=Ap(t)xp+bp(t)u(1)
式中
A p = [ 0 1 − 6 − 7 ] , b p = [ 2 4 ] (2) \boldsymbol{A}_{p}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -6 & -7 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{p}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right] \tag{2} Ap=[0−61−7],bp=[24](2)
参考模型的状态方程为
x ˙ m = A m x m + b m r (3) \dot{\boldsymbol{x}}_{m}=\boldsymbol{A}_{m} x_{m}+\boldsymbol{b}_{m} r \tag{3} x˙m=Amxm+bmr(3)
式中
A m = [ 0 1 − 10 − 5 ] , b m = [ 1 2 ] (4) \boldsymbol{A}_{m}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -10 & -5 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{m}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right] \tag{4} Am=[0−101−5],bm=[12](4)
用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律。
二、问题建模
由于控制对象的参数（状态矩阵 A p \boldsymbol{A}_{p} Ap 和控制矩阵 b p \boldsymbol{b}_{p} bp ）一般是未知的，且无法直接调整。所以为改变控制对象的动态特性，需采用前馈控制加反馈控制。
控制信号 u u u 由前馈信号 K r Kr Kr 和反馈信号 F x p Fx_p Fxp 组成，即
u = K r + F x p (5) u=K r+F \boldsymbol{x}_{p} \tag{5} u=Kr+Fxp(5)
式中， r r r 为 m m m 维输入向量， x p \boldsymbol{x}_{p} xp 为 n n n 维状态向量， K K K 为 m × m m \times m m×m 前馈增益矩阵， F F F 为 m × n m \times n m×n 反馈增益矩阵；具体在本次仿真实验中，输入向量维度 m = 1 m=1 m=1，状态向量维度 n = 2 n=2 n=2。
将(5)式代入控制对象的状态方程，可得
x ˙ p = [ A p ( t ) + b p ( t ) F ] x p + b p ( t ) K r (6) \dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\left[\boldsymbol{A}_{p}(t)+\boldsymbol{b}_{p}(t) F\right] \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) K r \tag{6} x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(6)
设系统的广义状态误差向量为
e = x m − x p (7) \boldsymbol{e}=\boldsymbol{x}_{m}-\boldsymbol{x}_{p} \tag{7} e=xm−xp(7)
由参考模型的状态方程，结合(6)式及(7)式，可得：
e ˙ = A m e + ( A m − A p − b p F ) x p + ( b m − b p K ) r (8) \dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{A}_{m} \boldsymbol{e}+\left(\boldsymbol{A}_{m}-\boldsymbol{A}_{p}-\boldsymbol{b}_{p} F\right) \boldsymbol{x}_{p}+\left(\boldsymbol{b}_{m}-\boldsymbol{b}_{p} K\right) r \tag{8} e˙=Ame+
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