《具体数学》学习笔记: 1.递归问题

《具体数学》学习笔记: 1.递归问题

序言:
本系列将记录《具体数学》中学习的重要内容。第一章，递归问题中探讨了三个范例。

1.1 汉诺塔(The Tower of Hanoi)
问题描述：给定三个桩柱，标记为$a,b,c$。另有 $n$ 个圆盘，这些圆盘以大小递减的方式套在桩柱 $a$ 上。 目标使得要将全部圆盘移动到另一根桩柱 $b$ 上，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘在移动过程中不能放置在较小的圆盘上面。

递归思路：对于 $n$ 个圆盘，我们首先要将 $n-1$ 个圆盘移动到辅助桩柱 $c$ 上，然后将最后一个圆盘从 $a$ 移动到桩柱 $b$ 上，再把 $c$ 上的 $n-1$ 个桩柱移动到 $b$ 上。

我们用 $T_n$ 表示移动 $n$ 个圆盘的总花费 $cost$, 则
$$\begin{gathered} T_n=2T_{n-1}+1 \\ {T}_0=0,T_1=1 \end{gathered}$$

利用数学归纳法或者配置等比数列，可以得到
$$T_n=2^n-1,n\ge 0$$

• C++实现

void hanio(int n, char a, char b, char c) {
    if (n == 1) cout << a << " -> " << b << endl;
    else {
        hanio(n - 1, a, c, b);
        cout << a << " -> " << b << endl;
        hanio(n - 1, c, b, a);
    }
}
int main() {
    hanio(5, 'a', 'b', 'c');
    return 0;
}

1.2 平面上的直线(Lines in The Plane)
问题描述：平面上 $n$ 条直线所界定的区域的最大个数 $L_n$ 是多少?

递归思路：从前3项来看，似乎 $L_n=2^n$， 但是显然L3=7L_3=7