[bzoj4830][Hnoi2017]抛硬币——数论+拓展卢卡斯定理

最新推荐文章于 2023-07-04 19:40:50 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ylsoi/p/10097150.html

本文详细解析了一道关于硬币抛掷概率的问题，通过数学技巧简化了计算过程，利用组合数对称性和拓展卢卡斯定理进行高效求解。文章深入探讨了算法细节，包括预处理阶乘、快速幂、逆元计算等关键步骤。

题目大意：

先抛a次硬币，再抛b次硬币，求前a次正面朝上的次数比后b次正面朝上的次数多的情况数。

思路：

不难发现答案为\(\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{i-1}{a\choose i}\times {b\choose j}\)，然后将b的情况全部反过来，并将a,b接成同一个序列，答案变成了\(\sum_{i=b+1}^{a+b}{a+b\choose i}\)。
然后用组合数对称的性质将\(\sum_{i=\frac{a+b}{2}}^{a+b}{a+b\choose i}\)给化成\(2^{a+b-1}\)，剩下来的部分项数不多，可以直接用拓展卢卡斯求。
由于这个题目比较特别，所以在拓展卢卡斯的时候需要注意几项：
1.因为\(a+b\)的奇偶性的不同，有一个组合数要除2，这个直接在计算的时候特判一下，中国剩余的时候两个模数的结果都除以2即可，如果模数本身是2的倍数，那么在运算过程中要少乘一个2。
2.求阶乘要预处理出来。
3.有点卡常。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define MREP(i,x) for(int i=beg[x],v;v=to[i],i;i=las[i])
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("bzoj4830.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4830.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    T __=0,mul=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')mul=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    _=__*mul;
}

const int maxn=2e6+10;
ll fac2[maxn],fac5[maxn];

namespace ex{
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
        if(!b){x=1,y=0;return a;}
        ll g=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
        x=y,y=tmp-a/b*y;
        return g;
    }
    ll inv(ll a,ll b){
        ll x,y;
        exgcd(a,b,x,y);
        return (x%b+b)%b;
    }
}

ll qpow(ll x,ll y,ll mod){
    if(x==1)return 1;
    if(x==mod-1)return y%2 ? -1 : 1;
    ll ret=1; x%=mod;
    while(y){
        if(y&1)ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

ll Count(ll x,ll y){
    ll ret=0;
    for(;x;x/=y)ret+=x/y;
    return ret;
}

ll Fac(ll x,ll y,ll mod){
    if(!x)return 1;
    ll ret=(y==2 ? fac2[mod] : fac5[mod])%mod;
    ret=qpow(ret,x/mod,mod);
    ret=ret*(y==2 ? fac2[x%mod] : fac5[x%mod])%mod;
    return ret*Fac(x/y,y,mod)%mod;
}

ll calc(ll x,ll y,ll k,bool flag2,bool flag5){
    ll p[3]={(ll)pow(10,k),(ll)pow(2,k),(ll)pow(5,k)},b[3]={0,2,5},c[3],ret=0;
    REP(i,1,2){
        ll cnt=Count(x,b[i])-Count(y,b[i])-Count(x-y,b[i]);

        if(i==1 && flag2 && cnt)flag2=0,--cnt;
        ll mul=qpow(b[i],cnt,p[i]);
        if(i==2 && flag5)flag5=0,mul=mul*ex::inv(2,p[i])%p[i];
        mul=mul*Fac(x,b[i],p[i])%p[i];
        ll inv;
        inv=Fac(y,b[i],p[i])*Fac(x-y,b[i],p[i])%p[i];
        inv=ex::inv(inv,p[i]);
        c[i]=mul*inv%p[i];
    }
    REP(i,1,2)ret=(ret+p[3-i]*ex::inv(p[3-i],p[i])*c[i])%p[0];
    return (ret+p[0])%p[0];
}

void work(){
    ll a,b,k,ans,mod;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)){
        mod=pow(10,k); ans=qpow(2,a+b-1,mod);
        for(ll i=b+1;i<=(a+b)/2;++i)
            ans=(ans+calc(a+b,i,k,0,0))%mod;
        if((a+b)%2==0)ans=(ans-calc(a+b,(a+b)/2,k,1,1))%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
        DREP(i,k,1)printf("%d",(int)ans/(int)pow(10,i-1)%10);
        putchar('\n');
    }
}

void init(){
    fac2[0]=fac5[0]=1;
    ll mod2=pow(2,9),mod5=pow(5,9);
    REP(i,1,2e6){
        if(i%2)fac2[i]=fac2[i-1]*i%mod2;
        else fac2[i]=fac2[i-1];
        if(i%5)fac5[i]=fac5[i-1]*i%mod5;
        else fac5[i]=fac5[i-1];
    }
}

int main(){
    File();
    init();
    work();
    return 0;
}

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