[bzoj2142]礼物——扩展卢卡斯定理

最新推荐文章于 2023-07-04 19:40:50 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/ylsoi/p/10098046.html

本文探讨了一道关于圣诞礼物分配的数学问题，利用卢卡斯定理来计算在特定条件下礼物分配的方案数。通过解析题目的背景设定，详细介绍了算法实现过程，包括使用拓展卢卡斯定理进行模意义下的组合数计算。

题目大意：

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

思路：

拓展卢卡斯定理的裸体，直接上模板即可。

#include<bits/stdc++.h>
 
#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define MREP(i,x) for(int i=beg[x],v;v=to[i],i;i=las[i])
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;
 
using namespace std;
 
void File(){
    freopen("bzoj2142.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2142.out","w",stdout);
}
 
template<typename T>void read(T &_){
    T __=0,mul=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')mul=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    _=__*mul;
}
 
const int maxn=1e5+10;
int m,tot;
ll n,p,w[maxn],d[maxn],a[maxn],c[maxn];
 
namespace ex{
    void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
        if(!b)x=1,y=0;
        else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    }
    ll inv(ll x,ll mod){
        ll a,b; exgcd(x,mod,a,b);
        return (a%mod+mod)%mod;
    }
}
 
ll qpow(ll x,ll y,ll mod){
    ll ret=1; x%=mod;
    while(y){
        if(y&1)ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
 
ll Count(ll x,ll y){
    ll ret=0;
    while(x)ret+=x/y,x/=y;
    return ret;
}
 
ll Fac(ll x,ll y,ll mod){
    if(!x)return 1;
    ll ret=1;
    REP(i,1,mod)if(i%y)ret=ret*i%mod;
    ret=qpow(ret,x/mod,mod);
    REP(i,1,x%mod)if(i%y)ret=ret*i%mod;
    return Fac(x/y,y,mod)*ret%mod;
}
 
ll calc(ll x,ll y){
    ll ret=0;
    REP(i,1,tot){
        c[i]=qpow(d[i],Count(x,d[i])-Count(y,d[i])-Count(x-y,d[i]),a[i]);
        c[i]=c[i]*Fac(x,d[i],a[i])%a[i];
        c[i]=c[i]*ex::inv(Fac(y,d[i],a[i])*Fac(x-y,d[i],a[i])%a[i],a[i]);
        ret=(ret+p/a[i]*ex::inv(p/a[i],a[i])*c[i])%p;
    }
    return (ret+p)%p;
}
 
void init(){
    read(p);
    read(n),read(m);
    ll sum=0;
    REP(i,1,m)read(w[i]),sum+=w[i];
    if(sum>n)printf("Impossible"),exit(0);
    ll tmp=p;
    REP(i,2,1e5)if(tmp%i==0){
        d[++tot]=i,a[tot]=1;
        while(tmp%i==0)tmp/=i,a[tot]*=i;
    }
}
 
void work(){
    ll ans=1;
    REP(i,1,m){
        ans=ans*calc(n,w[i])%p;
        n-=w[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
 
int main(){
    //File();
    init();
    work();
    return 0;
}

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