斐波那契数列解法

最新推荐文章于 2025-03-08 22:54:44 发布

艾伦lee

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分类专栏：算法设计文章标签：斐波那契数列

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斐波那契数列解法

1、概念

在数学上，费波那契数列是以递归的方法来定义：

F0=0

F1=1

Fn=Fn-1+Fn-2（n≧2）

用文字来说，就是费波那契数列由0和1开始，之后的费波那契系数就是由之前的两数相加而得出。首几个费波那契系数是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……（OEIS中的数列A000045）

特别指出：0不是第一项，而是第零项。

2、解法

2.1递归解法

（1）代码

/*斐波那契递归解法*/
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

long Fibonacci(unsigned int n){
	if(n < 2){
		return n;
	} else {
		return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
	}
}

int main()
{
	cout<<"Enter an number:"<<endl;
	unsigned int num=0;
	cin>>num;
	cout<<"the "Fibonacci(num)<<endl;
	return 0;
}

（2）分析

当我们计算Fibonaccinacci(5)时：

为了计算Fibonaccinacci (5)，需要计算Fibonacci(3)，Fibonacci(4)；而为了计算Fibonacci(4)，需要计算Fibonacci(2)，Fibonacci(3)……最终为了得到Fibonacci(5)的结果，Fibonacci(0)被计算了3次，Fibonacci(1)被计算了5次，Fibonacci(2)被计算了2次。可以看到，它的计算次数几乎是指数级的！

因此，虽然递归算法简洁，但是在这个问题中，它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外，递归函数调用的越来越深，它们在不断入栈却迟迟不出栈，空间需求越来越大，虽然访问速度高，但大小是有限的，最终可能导致栈溢出。

2.2 递归改进

2.1版本的递归存在大量的重复计算，可以考虑将已经计算的值保存起来，从而避免重复计算，代码实现如下：

/*斐波那契递归改进*/
long FibonacciProcess(unsigned long *array, unsigned int n){
	if(n<2){
		return n;
	} else {
		/*递归保存值*/
		array[n]=FibonacciProcess(array,n-1)+array[n-2];
		return array[n];
	}
}

long Fibonacci(unsigned int n){
	if(n<=1){
		return n;
	}
	unsigned long ret=0;
	//申请数组用于保存已经计算过的内容
	unsigned long *array=(unsigned long*)calloc(n+1, sizeof(unsigned long));
	if(array == NULL){
		return -1;
	}
	array[1]=1;
	ret=FibonacciProcess(array,n);
	free(array);
	array=NULL;
	return ret;
}

可见改进版本，时间复杂度为O(n)，避免了重复计算，但是调用链仍然比较长。

2.3 迭代解法

递归法不够优雅。如果不用计算机计算，让你去算第n个斐波那契数，会怎么做？最简单直接的方法是：知道第一个和第二个，计算第三个；知道第二个和第三个，计算第四个，以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路没有冗余的计算。代码实现如下：

/*斐波那契数迭代解法*/
long FibonacciIterration(unsigned int n){
	unsigned long preVal=1;
	unsigned long prePreVal=0;
	if(n<2){
		return n;
	}
	unsigned int loop=1;
	unsigned long returnVal=0;
	while(loop < n){
		returnVal = preVal+prePreVal;
		//更新记录结果
		prePreVal=preVal;
		preVal=returnVal;
		loop++;
	}
	return returnVal;
}

时间复杂度为O(n)。

2.4 尾递归解法

要计算第n个斐波那契数，我们可以先先计算第一个，第二个，如果未达到n，则继续递归计算，尾递归实现代码如下：

/*斐波那契数尾递归解法*/
long FibonacciTialRecursionProcess(unsigned int n, unsigned long prePreVal, unsigned long preVal,unsigned long begin){
	//如果已经计算到我们需要计算的，则返回
	if(n == begin)
	{
		return prePreVal+preVal;
	} else {
		begin++;
		return FibonacciTialRecursionProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
	}
}

long Fibonacci(unsigned int n){
	if(n <= 1){
		return n;
	} else {
		return FibonacciTialRecursionProcess(n,0,1,2);
	}
}

尾递归效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是，进入下一个函数之前，已经获得了当前函数的结果，因此不需要保留当前函数的环境，内存占用自然也是比最看是提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。

2.5 矩阵快速幂解法

这是一种高效的解法，推导过程如下：

如果a为矩阵，等式同样成立。

假设有矩阵2*2矩阵A，满足下面的等式：

可以得到矩阵A：

因此也就可以得到下面的矩阵等式：

再进行变换如下：

以此类推，得到：

实际上f(n)就是矩A^(n-1)中的A[0][0]，或者是矩A^n中的A[0][1]。

现在的问题就归结为，如何求A^n，其中A为2*2的矩阵。根据我们最开始的公式，很容易就有思路，代码实现如下：

/*矩阵快速幂解法*/
#define MAX_COL 2
#define MAX_ROW 2
typedef unsigned long MatrixType;
//计算2*2矩阵乘法，这里没有写成通用形式的矩阵乘法
int matrixDot(MatrixType A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType C[MAX_ROW][MAX_COL]){
	//C为返回结果，由于A可能和C相同，因此使用临时矩阵存储
	MatrixType tempMa[MAX_ROW][MAX_COL];
	memset(tempMa,0,sizeif(tempMa));
	tempMa[0][0]=A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0];
	tempMa[0][1]=A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1];
	tempMa[1][0]=A[1][0]*B[0][0]+A[1][1]*B[1][0];
	tempMa[1][1]=A[1][0]*B[0][1]+A[1][1]*B[1][1];
	memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa));
	return 0;
}
MatrixType Fibonacci(int n){
	if(n <= 1){
		return n;
	}
	MatrixType result[][MAX_COL]={1,0,0,1};
	MatrixType A[][2]={1,1,1,0};
	while(n > 0){
		//判断最后一位是否为1，即可知奇偶
		if(n & 1){
			matrixDot(result,A,result);
		}
		n /= 2;
		matrixDot(A,A,A);
	}
	return result[0][1];
}

该算法的关键部分在于对A^n的计算，它利用了我们开始提到的等式，对奇数和偶数分别处理。假设n为9，初始矩阵为INIT则计算过程如下：

·9为奇数，则计算INIT*A，随后A变为A*A，n变为9/2，即为4

·4为偶数，则结果仍为INIT*A，随后A变为(A2)*( A2)=A4，n变为4/2，即2

·2为偶数，则结果仍为INIT*A，随后A变为(A4)*( A4)=A8，n变为2/2，即1

·1为奇数，则结果为INIT*(A^8)*A

可以看到，计算次数类似于二分查找次数，其时间复杂度为O(logn)。

2.6 通项公式解法

斐波那契数列的通项公式为：

代码实现如下：

/*斐波那契数列通项公式解法*/
long Fibonacci(unsigned long n){
	if(n<1){
		return n;
	}
	return (unsigned long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}