线性代数导论12——图和网络

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第十二课时：图和网络

本讲着重于线性代数的应用，线性代数处理的矩阵都是有出处的，来自实际问题，描述问题的拓扑结构。应用数学中最重要的模型，离散数学称之为” 图“。一个图包含结点和边

假设一个电路图，4个结点，n=4，5条边，m=5，用矩阵来表示这些信息，这个矩阵叫做 关联矩阵(Incidence Matrix)

用矩阵A来表示，正负表示方向，每一行表示一条边，将1,2,3条边表示出来后，这三条边是一个回路，从这个子图的矩阵中，这三行是线性相关的，行1+行2=行3，说明 ”回路“意味着”相关“，与回路对应的行是线性相关的。

将矩阵填写完整得到：

关联矩阵源于问题，描述了问题的拓扑结构，它可能是一个非常稀疏的矩阵。

问题1：矩阵的零空间是什么（回顾：零空间告诉我们，如何对列向量进行组合可得到零向量，如果存在非0组合则说明列向量线性相关，如果只存在0组合得到零向量，则说明列向量线性无关）

求解Ax=0

现在 假设x=x1,x2,x3,x4是四个结点的电势，那么结点电势为多少时，Ax电势差为0，解决了这个问题零空间就求解出来了。求解得到如上图右边X，这是四维空间中的一条直线。它就是整个零空间。

这个 零空间的物理意义：表明结点电势都是由一个常数决定，电势差是产生电流的原因，如果结点电势都相等，将不会产生电流，这个任意常数c，决定了所有结点电势上升或下降。

矩阵的秩等于3（4-1），任意三个结点的电势线性无关，通常将第四个结点接地。

问题2：矩阵A转置的零空间是怎样的？ 

零空间的维数=m-r=5-3=2。

我们感兴趣的是A ^Ty的实际意义是什么？

假设矩阵C把电势差和电流联系起来， 它的元素表示各边上的电流值y1,y2,y3,y4,y5，电流和电势差的关系服从欧姆定律（欧姆定律：边上的电流值是电势差的倍数，告诉我们产生了多少电流）

A^Ty=0叫基尔霍夫电流定律，简称KCL，它是平衡方程，守恒定律。解这个方程可看到长方矩阵和实际的应用。

满足解的y向量值即是5个满足基尔霍夫电流定律的电流值。

解方程时得到如上等式，可看到每个方程表示一个守恒定律，比如第二个节点y1-y2=0表示流进来的和流出去的是相等的，结点上不会积累电荷。

求解的过程我们不用消元法，从上图中看，假设y1=1，那么y2=1，那么y3=-1，右边回路中y4=y5=0即可，同样的，看另一组解，设左边回路为y1=y2=0，右边y3=y5=1，y4=-1。得到零空间解

问题3：A的行空间是怎样的？即求A ^T的列空间。

列1，列2，列4是主列，在电路图中看， 那三条边是没有回路的，线性无关等价于没有回路，相关性源自回路。没有回路的图叫做”树“。

问题4： 维数（即回路的数量），结点树，边数的关系

dim(N(A ^T))=m-r，即

相互无关(两回路之间无关)的回路数量#loops=边的数量#edges-列空间的秩#rank（等于n-1，结点的数量-1，1为A零空间的维）

#loops = #edges - (#nodes - 1)

#nodes - #edges + #loops = 1

这对任何图都成立，这就是 欧拉公式（用线性代数证明欧拉公式）

矩阵A是一切的开始，Ax得到电势差，Ax=e（电势差是e设为0），电流y=ce（电流y等于电势差的常数倍，欧姆定律），A^Ty=f（基尔霍夫电流定律，在没有外部电源电压的影响下f设为0），最终得平衡方程A^TcAx=f。A转置乘以A总是对称的，下讲继续分解。