简单的背包问题

 背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。——引用自百度百科

背包问题是熟知的不可计算问题，这里只写一下简单的“0/1背包问题”和“连续背包问题”，至于有兴趣的读者可以再去深入了解一下“完全背包问题”和“多重背包问题”

0/1背包问题：

题目：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。如果每次可以拿走某一物品的任意一部分，则这一问题称为连续背包问题

通常0/1背包问题可以采用遵归算法来解，连续背包问题可以采用贪心算法来求解

递归算法求解0/1背包问题的示例代码：

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//该函数首先尝试将最后一件物品放入背包，则物品减少一件，背包可用体积相应减少，然后对当前状态进行递归……
//若有解则递归结束；若无解则抛弃最后一件物品，然后对当前状态进行递归……
int knap(int s, int n, int w[]) {
    if ( s == 0 )
        return (1);
    else if ( s<0 || s>0 && n<1 )
        return(0);
    else if ( knap(s - w[n-1], n - 1, w)==1 ) { //从后往前装，如果装满第n个包，剩余的重量仍然可以在剩余的n-1包中放下，那么就将第n个包装满。
        printf("result: n=%d ,w[%d]=%d  \n", n, n-1, w[n-1]);
        return (1);
    }
    else
        return ( knap(s, n - 1, w) );//如果装满第n个包后，剩余的重量不能在剩余的n-1包中放下，那么就不用第n个包，考虑能不能用第n-1个包。
}
//s:背包的重量 n:物品的数量 w[]:每件物品的重量
int main() {
    int* w;
    int s = 0, n = 0, result = 0, i = 0;
    printf("please  input s = ");/*输入s*/
    scanf("%d", &s);
    printf("please  input n = ");/*输入n*/
    scanf("%d", &n);
    w = (int*)malloc(n*sizeof(int));
    printf("please input the %d numbers(weight):\n", n);/*输入重量*/
    for (i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", w+i);
    result = knap(s, n, w);
    if (result == 0)
        printf("no solution!\n");
    return 0;
}

 

参考资料：

1.http://zhidao.baidu.com/question/142355040.html

2.http://zhidao.baidu.com/question/189247470.html?fr=qrl&cid=866&index=1&fr2=query

3.http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/10/06/915035.html

4.http://88myway.blog.163.com/blog/static/6926644720097124916791/

5.http://www.cppblog.com/baby-fly/archive/2009/10/24/99356.html     //非递归算法

6.http://zhidao.baidu.com/question/54929204.html?fr=qrl&cid=93&index=5&fr2=query     //采用链表方法

7.http://zhidao.baidu.com/question/29685294.html?fr=qrl&cid=93&index=1&fr2=query    //采用栈的方法

贪心算法求解连续背包问题的示例代码:

 

//连续背包问题
#include <iostream>
#include <algorithm> 
#include <vector>
using namespace std;

#define Max 10 //初始化背包重量为10
typedef struct
{
	float price;
	float weight;
	float rate;//价格与重量的比
	float num;//每件物品是否能完整放下
}element;
bool bigger(element a,element b)
{
	return a.rate>b.rate;
}
void knapsack(vector<element> &test,float m)
{
	int i;
	for(i=0;i!=test.size();i++)
	{
		if(test[i].weight>m)
			break;
		test[i].num=1;//第i件物品可以完全放到背包中
		m=m-test[i].weight;
	}
	if(m>0){
		test[i].num=m/test[i].weight;//第i件物品只能放部分
		i++;
		while(i!=test.size()){//当不是最后一件物品不能放进时
			test[i].num=0;
			i++;
		}
	}
}
void main()
{
	int i,n;
	float m=Max;
	vector<element> data;
	element da;
	cout<<"input the num of goods:";
	cin>>n;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<"input the "<<i<<" price:";
		cin>>da.price;
		cout<<"input the "<<i<<" weight:";
		cin>>da.weight;;
		da.rate=da.price/da.weight;
		data.push_back(da);
	}
	cout<<"build dataset:"<<endl;
	for(i=0;i!=data.size();i++)
		cout<<data[i].price<<" "<<data[i].weight<<" "<<data[i].rate<<endl;
	sort(data.begin(),data.end(),bigger);//将性价比最高的排在前面
	cout<<"after sort;"<<endl;
	for(i=0;i!=data.size();i++)
		cout<<data[i].price<<" "<<data[i].weight<<" "<<data[i].rate<<endl;
	cout<<"result:"<<endl;
	knapsack(data,m);
	for(i=0;i!=data.size();i++)
		cout<<data[i].price<<" "<<data[i].num<<endl;
}

 

参考资料：

1.http://apps.hi.baidu.com/share/detail/16423759
2.http://wenku.baidu.com/view/ce3ebbc69ec3d5bbfd0a743e.html
3.http://wenku.baidu.com/view/afcc3e116edb6f1afe001f04.html?from=related&hasrec=1
4.http://www.cnblogs.com/gentleming/archive/2010/07/17/1779515.html