关于完全背包的遍历形式详解

关于完全背包的遍历问题

由上一篇博客我们知道，在纯完全背包问题中，是不在乎物品被放入的顺序的，也就是说你想怎么放你就怎么放，有序无序都无所谓，但是有的完全背包问题却更放入的顺序有关，这时候顺序的问题就直接体现在遍历的方式上面了

博客链接

结论

先说结论

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

518. 零钱兑换 II

难度中等400

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？

例如示例一：

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合，都是 2 2 1。

如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序

这时候遍历的顺序就体现出来了

了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。

但本题就不行了！

因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总结就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

所以这一题的解法就是外层遍历物品，内层遍历背包

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount+1,0);
        dp[0]=1;  // dp[0]初始化为1是因为，当只有第一个物品的时候，凑成amount为0总金额的方法是1

        for(int i=0;i<coins.size();i++) {  // 初始化为0的含义是在amount为0的时候凑成总金额的方法是0
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++) {
                dp[j] += dp[j-coins[i]];

            }
        }
        return dp[amount];

    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

难度中等438

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

弄清什么是组合，什么是排列很重要。

组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target+1,0);

        dp[0]=1;  // 初始化含义targat为0的时候只有第一个物品凑成target 的个数

        for(int i=0;i<=target;i++) { // 初始化含义，当只有第一个物品时候凑成target组合个数
            for(int j=0;j<nums.size();j++) {
                
                if(i-nums[j]>=0 && dp[i]<=INT_MAX-dp[i-nums[j]]) {
                    dp[i]+=dp[i-nums[j]];
                }

            }
        }

        return dp[target];
    }
};

其中精髓需要自己好好琢磨一下