23、时间跨度树和延长树的线性代数表示

时间跨度树和延长树的线性代数表示

在音乐理论中，音高事件的层次重要性通常用树结构来表示，如申克分析和调性音乐生成理论（GTTM）。然而，这种直观的表示方式在数学形式化处理上存在困难，尤其是GTTM中两个分支的连接高度往往是任意的。本文将探讨如何用线性代数来表示这些树结构，以及如何通过矩阵运算来解释音高事件之间的“可达性”和和声稳定性。

1. 引言

申克分析提出了音高事件的分层结构重要性，并以层次方式展示了音乐的内在骨架。作为这种结构层次的现代理论，GTTM旨在构建两种树：时间跨度树和延长树，并且推导过程已经实现自动化。

时间跨度树通过树结构展示了音高事件的重要性。例如，在图1的时间跨度树中，C比后续的E和F♯更突出，但最终会被G取代。这种树可以大致用序列 (C†(E†F♯))(DG†)† 表示，其中括号表示分叉，匕首“†”指定了两个分支中更突出的分支。然而，这种表示方式缺乏音高事件持续时间的信息。

即使添加了每个音高事件的持续时间信息，树的连接点高度仍然存在不确定性。Matsubara等人尝试根据节拍数来确定连接高度，但在包含终止保留时，高度仍然模糊。

为了解决这个问题，我们提出了每个音高事件的最大时间跨度（MTS）的概念，即事件最突出的最长时间间隔。如果音高事件没有分支，其MTS就是原始音高长度；如果事件到达树的顶部，其MTS就是整个音乐作品的长度。

我们可以用矩阵来表示树，但最初的矩阵表示存在秩低于大小的问题，不具有代数可处理性。因此，我们将修订这种表示方式，提出一种具有音乐意义的矩阵。

2. 树的表示

我们首先定义矩阵的数值。如果两个连续的音高事件的持续时间分别为d1和d