23、时间跨度树和延长树的线性代数表示

时间跨度树和延长树的线性代数表示

在音乐理论中,音高事件的层次重要性通常用树结构来表示,如申克分析和调性音乐生成理论(GTTM)。然而,这种直观的表示方式在数学形式化处理上存在困难,尤其是GTTM中两个分支的连接高度往往是任意的。本文将探讨如何用线性代数来表示这些树结构,以及如何通过矩阵运算来解释音高事件之间的“可达性”和和声稳定性。

1. 引言

申克分析提出了音高事件的分层结构重要性,并以层次方式展示了音乐的内在骨架。作为这种结构层次的现代理论,GTTM旨在构建两种树:时间跨度树和延长树,并且推导过程已经实现自动化。

时间跨度树通过树结构展示了音高事件的重要性。例如,在图1的时间跨度树中,C比后续的E和F♯更突出,但最终会被G取代。这种树可以大致用序列 (C†(E†F♯))(DG†)† 表示,其中括号表示分叉,匕首“†”指定了两个分支中更突出的分支。然而,这种表示方式缺乏音高事件持续时间的信息。

即使添加了每个音高事件的持续时间信息,树的连接点高度仍然存在不确定性。Matsubara等人尝试根据节拍数来确定连接高度,但在包含终止保留时,高度仍然模糊。

为了解决这个问题,我们提出了每个音高事件的最大时间跨度(MTS)的概念,即事件最突出的最长时间间隔。如果音高事件没有分支,其MTS就是原始音高长度;如果事件到达树的顶部,其MTS就是整个音乐作品的长度。

我们可以用矩阵来表示树,但最初的矩阵表示存在秩低于大小的问题,不具有代数可处理性。因此,我们将修订这种表示方式,提出一种具有音乐意义的矩阵。

2. 树的表示

我们首先定义矩阵的数值。如果两个连续的音高事件的持续时间分别为d1和d

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