大数据最新【数据结构与算法】之动态规划经典问题_动态规划问题

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目录

文章标题

• 前言
• 目录
• 一、最长递增子序列
• 二、找零钱问题
• 三、0-1背包问题
• 后记

动态规划（Dynamic Programming）相关问题的一般形式是求最值，比如最长递增子序列等，动态规划的核心问题是【穷举】。因为在求最值的过程中，我们需要求出一系列可行的值，再从可行值之中选择出目标答案。

动态规划的 【穷举】 中，会产生很多很多重复计算，所以，我们可能需要一个“备忘录”保存重复计算的结果，同时，我们需要一个DP table来优化穷举的过程，记录子问题的结果，相关内容在递归算法篇章的斐波那契数列中见到过。

动态规划的三要素如下：

• （1）重叠子问题，子问题的就算方式大致相同。
• （2）复合最优子结构，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是,我们可以通过子问题的最优解,推导出问题的最优解。
• （3）状态转移方程，怎么从子问题最优解推倒当前问题的最优解。

下面我们对经典的动态规划问题进行介绍~

一、最长递增子序列

题目： 给定一个无序的序列，求解它的【最长递增子序列】的长度。方法签名：int lengthOfLIS(int[] nums)。

注意：【子序列】和【子串】是不一样的，【子序列】是可以不连续的，但是子串必须是连续的。

举例： nums[] = {3,·1,4,1,5,9,2,6,5} 的最长递增子序列长度为4，结果返回4即可，此时的为子序列：1,4,5,9。

在使用【动态规划】方案解决该问题的时候，我们需要首先思考的是，怎么去设计一个dp数组，用来存放各个子问题的结果。

在这道题中，我们想：

• （1）【宏观问题】是这个数组中存在的【最长子序列】。
• （2）将其拆分成【子问题】就是，枚举出【从零到每一个位置】的最长递增序列，这也是我们所需要定义的一个dp数组。
• （3）dp数组保存了所有的计算结果，最后在dp数组中找最值就可以了。
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