ZOJ 3903 数学

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设最长边Z，最短边X，次长边Y，可以枚举所有的组合

Z	X	Y
3	1	1
3	1	2
3	1	3
3	2	2
3	2	3
3	3	3

易得，

S u m = \sum x = 1 n \sum y = x n [z 2 + (x + y) 2] (1)

$Sum=\sum_{x=1}^n\sum_{y=x}^n\bigg[z^2+(x+y)^2\bigg]\quad(1)$
将

z2 $z^2$ 提出，右边分解，可得

S u m 1 = 1 2 n (n + 1) \cdot z 2 (2)

$Sum1=\frac{1}{2}n(n+1)·z^2\quad(2)$

S u m 2 = \sum x = 1 n \sum y = x n (x 2 + y 2 + 2 x y) (3)

$Sum2=\sum_{x=1}^n\sum_{y=x}^n\big(x^2+y^2+2xy\big)\quad(3)$
3式右边可继续分解成两项

S u m 3 = \sum x = 1 n \sum y = x n (x 2 + y 2) (4)

$Sum3=\sum_{x=1}^n\sum_{y=x}^n\big(x^2+y^2\big)\quad(4)$

S u m 4 = \sum x = 1 n \sum y = x n 2 x y (5)

$Sum4=\sum_{x=1}^n\sum_{y=x}^n2xy\quad(5)$
其中4式可约简（观察或数学证明都可得）

S u m 3 = (n + 1) \sum x = 1 n x 2 (6)

$Sum3=(n+1)\sum_{x=1}^nx^2\quad(6)$
5式（有一个交换变量的技巧）

S u m 4 = \sum x = 1 n x \sum y = x n 2 y = \sum x = 1 n x \sum y = 1 x 2 y = \sum x = 1 n x \cdot x (x + 1) = \sum x = 1 n (x 3 + x 2) (7)

$Sum4=\sum_{x=1}^nx\sum_{y=x}^n2y=\sum_{x=1}^nx\sum_{y=1}^x2y=\sum_{x=1}^nx·x(x+1)=\sum_{x=1}^n(x^3+x^2)\quad(7)$
这样就很清楚了，利用立方和和平方和的数列公式得解。

\sum x = 1 n x 2 = 1 6 n (n + 1) (2 n + 1)

$\sum_{x=1}^nx^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

\sum x = 1 n x 3 = 1 4 n 2 (n + 1) 2

$\sum_{x=1}^nx^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
1/6的处理时候使用逆元

1/a=ap−2 $1/a=a^{p-2}$
贴一下代码

LL mod(LL x, LL k)
{
    LL ans = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            ans = ans * x % MOD;
        k >>= 1;
        x = x * x % MOD;
    }
    return ans;
}

void cd_test()
{
    LL n;
    scanf("%lld", &n);
    n %= MOD;
    LL inv2 = mod(2LL, MOD - 2);
    LL inv4 = mod(4LL, MOD - 2);
    LL inv6 = mod(6LL, MOD - 2);
    LL n2 = n * n % MOD;
    LL s1 = inv2 * n % MOD * (n + 1) % MOD;
    LL s2 = inv6 * n % MOD * (n + 1) % MOD * (2LL * n + 1) % MOD;
    LL s3 = inv4 * n2 % MOD * (n + 1) % MOD * (n + 1) % MOD;

    LL c1 = n2 * s1 % MOD;
    LL c2 = (n + 1) * s2 % MOD;
    LL c3 = (s2 + s3) % MOD;
    LL ans = ((c1 + c2) % MOD + c3) % MOD;
    printf("%lld\n", ans);
}