LeetCode 834. 树中距离之和 手绘版

Tree DP的典型例题，值得一写。

树状DP的核心思想是，将每个节点及其构成的子树看做一个整体，求整体子树的状态值。此时父亲节点子树$Tree(u)$的状态值可以通过DFS由子树$Tree(v)$的状态值推出，而当需要求子树节点的答案时，可以将子树的根节点看做为整体树的根节点，通过简单的递推计算得到新的状态值。

此题需要求解所有距离之和，因此隔离出每棵子树，设该子树的根节点$v$到子树中每个节点的距离之和为$dp(v)$。经过计算可得，子树1中的$dp(1)=3$，而1234 四个点到达0的距离之和需要对每个点加上0-1之间的边距离1，实质就是加上子树中节点的数量$size(v)$。即子树$Tree(1)$对于树$Tree(0)$的贡献为3+4。同理，子树$Tree(5)$对于树$Tree(0)$的贡献为0+1。最后将所有子树的dp值累计即可得到根节点的dp值。

接下来需要求$v$作为根节点时的dp状态值。暴力的做法是将$v$作为根节点，重新上述的过程一遍。但是该方法将造成大量重复计算，未能有效利用之前计算得到的结果。

例如，计算子树$Tree(1)$的状态值，将1提到根节点处，对其状态值进行重新计算。但是之前1作为子树已经计算得到了结果，能否对此结果加以利用？答案是肯定的。

如图所示，上次遍历时$dp(1),size(1)$经过计算，得到是以1为根节点虚线圈中子树的状态值。而原来的父节点$u$此时已经降为$v$的子节点，因此$dp(v)$需要增加$u$子树的那部分状态值，而$dp(u)$需要减掉和$v$相连通的那部分。

可以得到$dp(0)=dp(0)-dp(1)-size(1),size(0)=size(0)-size(1)$，而计算完毕$u$的新值后，再对$v$进行更新：$dp(1)=dp(1)+dp(0)+size(0),size(1)=size(1)+size(0)$

用LC的官方题解作为结束语：
时间复杂度：O(n)，其中 n 是树中的节点个数。我们只需要遍历整棵树两次即可得到答案，其中每个节点被访问两次，因此时间复杂度为 O(2n)=O(n)。

空间复杂度：O(n)。我们需要线性的空间存图，n 个节点的树包含 n−1 条边，数组dp 和sz 的长度均为 n。

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<string> vs;
typedef unsigned int ui;

class Solution {
	vector<vi> w;
	int n;
	vi vis;			// visit
	vi ans;
	vi sz, dp;
	void go(int u) {
		vis[u] = 1;
		sz[u] = 1;
		dp[u] = 0;
		for (int v : w[u]) {
			if (vis[v])
				continue;
			go(v);
			sz[u] += sz[v];
			dp[u] += dp[v] + sz[v];
		}
	}
	void go2(int u) {
		vis[u] = 1;
		for (int v : w[u]) {
			if (vis[v]) continue;
			int l_dpu = dp[u], l_szu = sz[u], l_dpv = dp[v], l_szv = sz[v];
			dp[u] -= dp[v] + sz[v];
			sz[u] -= sz[v];
			dp[v] += dp[u] + sz[u];
			sz[v] += sz[u];
			ans[v] = dp[v];
			go2(v);
			dp[u] = l_dpu, dp[v] = l_dpv, sz[u] = l_szu, sz[v] = l_szv;
		}
	}
public:
	vector<int> sumOfDistancesInTree(int n, vector<vector<int>>& edges) {
		this->n = n;
		ans.resize(n);
		dp.resize(n);
		sz.resize(n);
		vis.resize(n);
		vi temp;
		w.resize(n, temp);
		for (vi e : edges) {
			int u = e[0], v = e[1];
			w[u].push_back(v);
			w[v].push_back(u);
		}
		go(0);	// connected tree
		ans[0] = dp[0];
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			vis[i] = 0;
		go2(0);
		return ans;
	}
};