[51Nod 1035 最长的循环节] 循环小数的性质

[51Nod 1035 最长的循环节] 循环小数的性质

知识点：数论 循环小数の性质 欧拉公式

1. 题目链接##

[51Nod 1035 最长的循环节]

2. 题意描述

正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。
1/6= 0.1(6) 循环节长度为1
1/7= 0.(142857) 循环节长度为6
1/9= 0.(1) 循环节长度为1
$(10\le n\le 1000)$

3. 解题思路

首先，需要介绍一下循环小数的几个性质。证明论文《康明昌-循环小数》

1. 循环小数的每个循环节长度为偶数，（记为$2k$），那么每个循环节中第$i（1\le i\le k）$个数字 + 第$(i+k)$个数字之和为$9$；
2. 如果$p$是质数，并且$d$是$\frac{1}{p}$的循环节的位数，则$d$可以整除$p-1$；
3. 如果$1\le b\lt a$， $a$没有$2$或者$5$的质因数，并且$a$与$b$互质，那么$\frac{b}{a}$的循环节位数等于：$min\{ e\in N: 10^e \equiv 1(\mod a )\}$；
4. 如果$1\le b\lt a$， $a$没有$2$或者$5$的质因数，并且$a$与$b$互质，那么$\frac{b}{a}$的循环节位数必整除$\psi(a)(即a的欧拉函数)$;
5. 如果$n, m\ge 3$, $2$和$5$都不整除$mn$,并且$n$与$m$是互质的正整数，则$\frac{1}{mn}$的循环位数是$\frac{1}{n}$与$\frac{1}{m}$循环小数位数的最小公倍数;
6. $\dots$$\dots$，其他定理可以参考论文。

在这个题，我们需要用到的结论就是第3条。
需要特殊处理的是，分母含$2$或$5$的因数。如$\frac{1}{235}$。可以先将$2$或$5$的因数提出来：

$$\frac{1}{235}=\frac{1}{5*47}=\frac{2}{47} * \frac{1}{10}$$
$\frac{1}{235}$的循环位数是跟 $\frac{2}{47}$是一样多的。而 $\frac{2}{47}$循环位数也正是 $\frac{1}{47}$的循环位数。
数据比较小，所以暴力枚举 即可。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int MAXN = 1000 + 5;

int n;

int q_pow(int a, int b, int mod) {
    int ret = 1;
    while(b > 0) {
        if(b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int calc(int x) {
    while((x & 1) == 0) x >>= 1;
    while(x % 5 == 0) x /= 5;
    if(x == 1) return 1;
    int e = 1;
    while(q_pow(10, e, x) != 1) e ++;
    return e;
}

PII ans[MAXN];
void init() {
    ans[1] = PII(1, 0);
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        int z = calc(i);
        if(ans[i - 1].second <= z) ans[i] = PII(i, z);
        else ans[i] = ans[i - 1];
    }
}

int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___
    init();
    while(~scanf("%d", &n)) {
        printf("%d\n", ans[n].first);
    }
    return 0;
}