【动态规划】买卖股票相关问题

初晴~

于 2024-11-17 15:22:18 发布

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分类专栏：寻找one piece的算法之路文章标签：动态规划算法数据结构 leetcode java python c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/acm_pn/article/details/143753864

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一、买卖股票的最佳时机含手续费

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

题目描述：

题目分析：

1、状态分析

其实一共就只有两种状态，不是处于持有状态，就是处于未持有状态。

f[i]表示第i天结束后，处于持有状态时，最大的利润
g[i]表示第i天结束后，处于未持有状态时，最大的利润

2、状态转移方程

对于f[i]，有两种情况可以到达这种状态:

在第 i-1 天时就已处于持有状态，然后第 i 天啥也不干，仍然保持持有状态。此时的最大利润就为 f[i - 1]
在 i - 1 天的时候「未持有」股票，在第 i 天买⼊股票。此时最⼤收益为 g[i - 1] - prices[i])

可知 f[i] 就为以上两种情况下的最大值，即

f[i] = max(f[i - 1], g[i - 1] - prices[i])

对于g[i]，也有两种情况能够到达这种状态：

在 i - 1 天「持有」股票，但是在第 i 天将股票卖出。此时最⼤收益为： f[i - 1]

+ prices[i] - fee) ，记得⼿续费
在 i - 1 天「未持有」股票，然后第 i 天啥也不⼲。此时最⼤收益为： g[i - 1] ；

可知 g[i] 就为以上两种情况下的最大值，即

g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee) 。

3、初始化

为了避免数组访问越界，我们需要初始化数组

对于 f[0] ，此时处于「持有」状态，因此 f[0] = -prices[0]
对于 g[0] ，此时处于「未持有」状态，此时的最大收益就是0，因此 g[0] = 0

代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        //int n=prices.length;
        // f 卖出状态  g 买入状态
        int f=0,g=-0x3f3f3f;
        for(int price:prices){
            int new_f=Math.max(f,g+price-fee);
            g=Math.max(g,f-price);
            f=new_f;
        }
        return f;
    }
}

二、买卖股票的最佳时机含冷冻期

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目描述：

题目分析：

1、状态表示

这时就会存在 “持有”、“可交易”、“冷冻期” 这三种状态：

f[i]表示第i天结束后，处于可交易状态时，最大的利润
g[i]表示第i天结束后，处于持有状态时，最大的利润
h[i]表示第i天结束后，处于冷冻期状态时，最大的利润

2、状态转移方程

对于 f[i] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：

在 i - 1 天就处于可交易状态，然后第 i 天啥也不做，此时最⼤收益应该和 i - 1 天的保持⼀致： f[i - 1]
在 i-1 天就处于冷冻期状态，然后第 i 天啥也不做，此时最⼤收益应该和 i - 1 天的保持⼀致： h[i - 1]

两种情况应取最⼤值，因此： f[i]=max(f[i-1],h[i-1])

对于 g[i] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：

在 i - 1 天持有股票，然后第 i 天啥也不做，此时最⼤收益应该和 i - 1 天的保持⼀致： g[i - 1]
在 i 天买⼊股票，那我们应该选择 i - 1 天不在冷冻期的时候买⼊，即可交易状态，由于买⼊需要花钱，所以此时最⼤收益为： h[i] - prices[i]

两种情况应取最⼤值，因此： g[i]=max(f[i-1]-prices[i],g[i-1])

对于 h[i] ，只有当前一天处于 “买入” 状态才能到达这个状态：

在 i - 1 天持有股票，并且卖出股票

此时状态转移方程就为 h[i]=g[i-1]+prices[i]

3、初始化

为了避免数组访问越界，需要对数组进行初始化

对于 f[0] ，此时没有进行任何交易，因此 f[0] = 0
对于 g[0] ，此时处于「买入」状态，就必须买下第一天的股票，因此 g[0]=-prices[0]
对于 h[0]，此时也是由于没有交易，因此 h[0]=0

代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n=prices.length;
        //f表示可交易  g表示买入  h表示冷冻期
        int[] f=new int[n+1],g=new int[n+1],h=new int[n+1];
        g[0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            f[i]=Math.max(f[i-1],h[i-1]);
            g[i]=Math.max(f[i-1]-prices[i],g[i-1]);
            h[i]=g[i-1]+prices[i];
        }
        return Math.max(f[n-1],h[n-1]);
    }
}

三、买卖股票的最佳时机 IV

188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目描述：

题目分析：

1、状态表示

同样的，其实只存在持有与未持有两种状态。不过对交易次数有所限定。我们就需要用一个变量来记录交易次数：

f[ i ][ j ] 表示到第 i 天结束时，至多完成 j 笔交易，持有股票时的最大利润
g[ i ][ j ] 表示到第 i 天结束时，至多完成 j 笔交易，未持有股票时的最大利润

2、状态转移方程

正常的一次交易应该是买入加上卖出，但为了方便统计，我们选择在买入一次股票时就记录为一次交易。

对于f[ i ][ j ]，有两种情况可以能够到达这个状态：

第 i-1 天时未持有股票且已进行了 j-1 笔交易，并选择在这一天买入股票。此时的利润就为 g[ i-1 ][ j-1 ]-prices[ i ]
第 i-1 天已持有股票且已进行了 j 笔交易，然后第 i 天选择啥也不做。此时的利润就为 f[ i-1 ][ j ]

两种情况应取最⼤值，因此： f[ i ][ j ]=max(g[ i-1 ][ j-1 ]-prices[ i ], f[ i-1 ][ j ])

对于g[ i ][ j ]，有两种情况可以能够到达这个状态：

第 i-1 天时持有股票且已进行了 j 笔交易，并选择在这一天卖出股票。此时的利润就为 f[ i-1 ][ j ]+prices[ i ]
第 i-1 天就未持有股票且已进行了 j 笔交易，然后第 i 天选择啥也不做。此时的利润就为 g[ i-1 ][ j ]

两种情况应取最⼤值，因此： g[ i ][ j ]=max(f[ i-1 ][ j ]+prices[ i ], g[ i-1 ][ j ])

3、优化

由上述状态转移方程我们可以看出，在计算第 i 的状态时，我们只需要知道第 i-1 天的状态就行了。因此我们没必要单独列出一个表记录每一天的状态，可以将状态表示为下面这样：

f[ i ] 表示到当前天结束时，至多完成 i 笔交易，持有股票时的最大利润
g[ i ] 表示到当前天结束时，至多完成 i 笔交易，未持有股票时的最大利润

则状态转移方程就为：

f[ i ]=max(f[ i ],g[ i-1 ]+prices[ i ])
g[ i ]=max(g[ i ],f[ i ]-prices[ i ])

4、初始化

由于在计算g[ i ]时，会出现对g[ i ]和f[ i ]-prices[ i ]的比较，而 f[ i ]-prices[ i ] 的值很可能是负数，因此我们需要将g[ i ]初始化为一个比较小的数字，才不会影响计算结果。

在这里我们可以先用一遍遍历将g[ i ]初始化为-0x3f3f3f这样一个比较小的数字。

代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int[] f=new int[k+2],g=new int[k+2];
        for(int i=0;i<k+2;i++){
            g[i]=-0x3f3f3f;
        }
        for(int p:prices){
            for(int i=k+1;i>0;i--){
                f[i]=Math.max(f[i],g[i-1]+p);
                g[i]=Math.max(g[i],f[i]-p);
            }
        }
        return f[k+1];
    }
}

四、买卖股票的最佳时机 III

123. 买卖股票的最佳时机 III

题目描述：

题目分析：

有了上题的基础，这题就变得非常简单了。只需要将上题的k次遍历改为两次遍历即可

代码实现：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int k=2;
        int[] f=new int[k+2],g=new int[k+2];
        for(int i=0;i<k+2;i++){
            g[i]=-0x3f3f3f;
        }
        for(int p:prices){
            for(int i=k+1;i>0;i--){
                f[i]=Math.max(f[i],g[i-1]+p);
                g[i]=Math.max(g[i],f[i]-p);
            }
        }
        return f[k+1];
    }
}