一、基础知识(2)-凸集、凸函数

一、凸集

1.1 凸集的相关定义

1. 凸集定义：$x_1,x_2\in C\Rightarrow \theta x_1+(1-\theta )x_2\in C,\forall 0\le \theta \le 1$
   • 形式化定义：集合C中的任意两点所连接的线段都在C内，则C为凸集。
2. 凸包定义：$x={\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_k{x}_k,1={\theta }_1+{\theta }_2+...+{\theta }_k$,点$x_i$称为凸组合。
3. 仿射包：S为Rn的子集，{ x∣x=θ1+θ2+...+θk,xk∈S,θ1+θ2+...+θk=1}S为R^n的子集，\{x|x=\theta_1+\theta_2+...+\theta_k,x_k\in S,\theta_1+\theta_2+...+\theta_k=1\}S为Rn的子集，{ x∣x=θ1​+θ2​+...+θk​,xk​∈S,θ1​+θ2​+...+θk​=1}
   
4. 凸锥：$x={\theta }_1{x}_1+{\theta }_2$