树的直径（树中最长路）的计算

树是一个连通图的结构，我们定义树中最长的路径为树的直径。

算法思路

对于边没有权重的树，我们可以从任意一点u出发进行广度优先搜索（bfs），找到离u最远的点s，s是最长路径的一个端点。以s为起点，再用一次bfs找到距离s最远的点t，则路径s-t为树中最长的路径，即树的直径。

证明

证明的思路主要是使用反证法。假设s-t为最长路径。

1. 若u在s-t路径上
   若离u最远的点s’不在s-t路径的端点上，则有dis(u,s')>dis(u,s),进而有
   dis(t,s')=dis(t,u)+dis(u，s')>dis(t,u)+dis(u,s)=dis(t,s)，即存在路径t-s’长于路径t-s，与假设矛盾。

2. 若u不在s-t路径上
   若u不在路径s-t上，则有两种情况需要，一种是u为起点的最长路与s-t路径有交点，另一种是u为起点的最长路与s-t路径没有交点。
   （1）假设有交点，我们记交点为X。
   从X点进行分析，与讨论1相同，如果离u最远的点不是u-t路径的端点的话，则存在X-s’路径长于X-s路径，即存在路径t-X-s’长于路径s-t，与s-t是最长路径的假设矛盾。因此s’为u-t路径的端点。
   （2）假设两条路径没有交点
   对于u-t路径上的任意一个点X，我们都有dis(u,s')>dis(u,s)=dis(u,X)+dis(X,s)，因此有
   dis(t,a)=dis(t,X)+dis(X,s)<dis(t,X)+dis(X,u)+dis(u,s')，即存在路径t-X-u-s’长于路径t-s，出现矛盾。因此两条路径必有交点。