Supervised Deep Learning with Auxiliary Networks

### 图卷积网络在半监督分类中的应用 #### 半监督学习背景 半监督学习是一种利用少量标注数据和大量未标注数据来提高模型性能的学习范式。对于许多实际应用场景而言,获取大规模高质量的标注数据成本较高,因此半监督学习成为一种重要的解决方案。 #### 图卷积网络的核心思想 图卷积网络(Graph Convolutional Network, GCN)通过将传统的卷积操作推广到图结构上,能够有效地处理具有复杂关系的数据集。其核心在于如何定义适用于图结构的卷积运算,并将其应用于节点特征的学习过程[^1]。 具体来说,《Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks》提出了基于谱图理论的方法,通过对拉普拉斯矩阵进行局部一阶近似,实现了高效的前向传播算法。这种方法不仅保留了图结构的信息,还能够在计算效率方面取得良好的平衡[^2]。 #### 谱图卷积及其简化形式 原始的谱图卷积依赖于傅里叶变换,在频域中完成滤波器的设计与应用。然而,这种做法通常涉及复杂的矩阵分解操作,难以直接扩展至大型稀疏图。为了克服这一局限性,论文引入了一种切比雪夫多项式的近似方式,进一步减少了参数数量并提升了运行速度[^3]。 最终得到的形式化表达如下所示: \[ H^{(l+1)} = \sigma(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}\tilde{D}^{-\frac{1}{2}} H^{(l)} W^{(l)}) \] 其中 \(H^{(l)}\) 表示第 l 层隐藏层的状态;\(W^{(l)}\) 是权重矩阵;而 \(\tilde{A}=A+I_N,\tilde{D}_{ii}=\sum_j{\tilde{A}_{ij}}\) 则分别代表增广邻接矩阵以及对应的度数矩阵[^4]。 此更新规则体现了两方面的特性:一方面它融合了来自邻居节点的影响;另一方面允许逐层调整特征表示的空间维度大小。 #### 应用实例 该框架被成功验证于多个标准基准测试任务之上,比如Cora、Citeseer 和 Pubmed 文献引用网络数据集。实验结果显示相比于其他传统方法或者简单的多层感知机架构,采用GCNs能显著提升预测精度的同时保持较低的时间开销。 ```python import numpy as np from scipy.sparse import csr_matrix from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder def preprocess_adjacency(adj): """Preprocess adjacency matrix.""" adj_normalized = normalize_adj(adj + sp.eye(adj.shape[0])) return sparse_to_tuple(adj_normalized) class GraphConvLayer(tf.keras.layers.Layer): def __init__(self, input_dim, output_dim, activation=tf.nn.relu, **kwargs): super(GraphConvLayer, self).__init__(**kwargs) self.W = tf.Variable(initial_value=tf.random.normal([input_dim, output_dim]), trainable=True) self.activation = activation def call(self, inputs): features, support = inputs pre_sup = dot(features, self.W, sparse=False) output = dot(support, pre_sup, sparse=True) return self.activation(output) if self.activation is not None else output ``` 上述代码片段展示了构建基本图形卷积层的过程,其中包括必要的预处理步骤以及自定义Keras层的具体实现细节。 ---
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