组合数

1、关于n!的一个问题。
n!=1*2*3*…*n求，n!中有多少的质因子p
直观的方法为

int ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
    int temp=i;
    while(temp%p==0){
        temp/=p;
        ans++;
    }
}

但是其时间复杂度过大，为O（nlog n）
由数学方法可知，n!中有（n/p+n/p^2+…..）个质因子p,其中除法向下取整。
于是得到算法，时间复杂度仅为O（log n）

int ans=0;
while(n){
    ans+=n/p;
    n/=p;
}

2、组合数的计算

如果直接分别计算n!,m!,(n-m)!,很容易造成溢出。
可以采用递归处理。

代码如下

long long C(long long  n,long long  m){
    if(m==0||n==m){
        return 1;
    }
    else return C(n-1,m-1)+C(n-1,m);
}

还可以通过定义式的变形计算。

long long C(long long n,long long m){
      long long ans=1;
      for(long long i=1;i<=m;i++){
          ans=ans*(n-m+i)/i;//先乘再除
      }
    return ans;
}

3、计算

A。通过递推公式计算

int res[1000][1000]={0};
int C(int n,int m,int p){
    if(m==0||n==m) return 1;
    if(res[n][m]!=0) return res[n][m];//已经有值
    return res[n][m]=(C(n-1,m)+C(n-1,m-1))%p;//赋值并返回
}
void calC(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        res[i][0]=res[i][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i/2;j++){
            res[i][j]=(res[i-1][j]+res[i-1][j-1])%p;
            res[i][i-j]=res[i][j];
        }
    }
}