求数组逆序对数

题目：

对于一个元素个数为n的数组A，若*A[i] > A[j],且0<= i < j < n,则A[i]和A[j]为一个逆序对。现在要求给定数组的逆序对数

解析：

对于这一个题目，最容易想到的方法即顺序扫描整个数组。没扫描到一个元素，则将该元素与其后面的所有元素进行比较，若后面的元素比该元素大，则找到一个逆序数。这一过程，对于数组中位置i处的元素需要与n - i - 1个元素进行比较。所以时间复杂度为O（n^2).

当然对于这个题目可以利用分治法来求解。首先将数组一分为2，前半部分为A[0~mid]，后半部分为A[mid+1, n)。假设我们通过前面的计算，已经获得了前半部分的子数组内部的逆序数为left，后半部分子数组的逆序数为right。那么现在我们只需要求前半部分子数组的元素相对后半部分子数组中元素的逆序数即可，假设这一逆序数为mid。那么整个数组的逆序数count = left + mid + right。

由于假设前半部分子数组和后半部分子数组均有序，那么我们可以利用归并的思想，将这两个已序子数组合并为一个完整的有序数组。这一过程其实就是归并排序的思想，其实求数组逆序数问题，就可以利用归并排序对数组进行排序，在归并的过程中统计数组的逆序数。统计方式如下图所示：

假设归并过程的输入为(A, begin, mid, end)，其中A[bigin, mid]和A[mid+1, end]分别有序。如上图，初始时设i = begin, j = mid。那么合并过程的统计逆序数的的过程就如以下代码所示：

//B为辅助数组	
while(i <= mid && j <= end)
{
	if(A[i] <= A[j])
	{
		B[k++] = A[i++];
	}//if(A[i] <= A[j])
	else
	{
		B[k++] = A[j++];
		count += mid - i + 1;	//对于A[j],其前面公有mid-i+1个元素大于A[j]
	}//else
}//while
	

根据归并排序的思想，则容易知道这种方法的复杂度为O(nlogn)，要优于之前的O(n^2)的方法。

完整的代码如下所示：

/*
*本文件包含解决数组逆序数问题的源码
*对于一个元素个数为n的数组A，若
*A[i] > A[j],且0<= i < j < n,则A[i]和A[j]为一个逆序对
*/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <new>
using namespace std;

/*
*用于合并数组A的两个有序子数组，并返回这两个子数组的逆序对数
*/
int merge(int *A, int begin, int mid, int end)
{
	if(A == NULL && !(begin <= mid && mid < end)) return 0;
	
	vector<int> B(end-begin+1);
	int k = 0;
	int count = 0;
	int i = begin;
	int j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= end)
	{
		if(A[i] <= A[j])
		{
			B[k++] = A[i++];
		}//if(A[i] <= A[j])
		else
		{
			B[k++] = A[j++];
			count += mid - i + 1;	//对于A[j],其前面公有mid-i+1个元素大于A[j]
		}//else
	}//while
	
	while(i <= mid) B[k++] = A[i++];
	while(j <= end) B[k++] = A[j++];	
	for(i = begin, k = 0; i <= end; i++, k++) A[i] = B[k];
	
	return count;
}//merge

/*
*用于获取数组A在begin和end范围内的逆序对数
*/
int getInversionPairCount(int *A, int begin, int end)
{
	if(A == NULL || begin == end) return 0;
	
	int count = 0;
	int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
	count += getInversionPairCount(A, begin, mid);	//数组前半部分逆序数
	count += getInversionPairCount(A, mid+1, end);	//数组后半部分逆序数
	count += merge(A, begin, mid, end);	//数组前半部分相对后半部分的逆序数
	
	return count;
}//getInversionPairCount

int main()
{
	int n;
	void *buffer = ::operator new(100);
	int *A;
	while(cin >> n && n > 0 && n <= 100)
	{
		A = new (buffer) int[n];
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			cin >> A[i];
		}//for
		int count = getInversionPairCount(A, 0, n-1);
		cout << count << endl;
	}//while
	delete[] buffer;
}//main