来自一个懒人的分治讲解（1）

最新推荐文章于 2020-12-14 18:18:11 发布

原创最新推荐文章于 2020-12-14 18:18:11 发布 · 237 阅读

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本文深入浅出地介绍了分治法的基本思想及其在数学计算和方程求解中的应用，通过快速幂运算和一元三次方程求解两个实例，展示了如何通过分解问题并逐步求解来提高算法效率。

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分治的基础思想是：大问题变成小问题，解决小问题后将答案合并为大问题的答案
分治法可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。
分治法的精髓：
分–将问题分解为规模更小的子问题；
治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

(1)数学方面的利用
举个非常通俗易懂的例子：
将一万个一相加的结果是什么？
如果用“1+1+1+1+1+1+1……”那就要运行一万次
这时候怎么优化呢？
大家可以发现:1+1这个过程被重复了一万次
那么：我们把1+1看成一个整体，将整体带入运算
嘿！这时候恭喜少侠，你的程序只要运行5000次了
我们又发现1+1又是“1+1+1+1”的一部分
同样的把1+1看成整体再运算，再将它带入；
重复如下过程，最终的结果就是10000*1；

接下来我们看一个典例__快速幂（洛谷p1226）
题意如下：
输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。
首先很容易发现mod k并不是什么问题（ (a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c），问题在于b^k;
这个过程会进行大量的运算
跟前面想的一样：将q分解，q为偶数，算出b^q/2 * b^q/2即可；q为奇数，算出b^q/2 * b^q/x *b即可
（原理：设底数为x,则x^(a+b)=x^a*x^b）
接下来是代码部分

#include<cstdio>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using  namespace  std;
long long mod(long long  a,long long b,long long c) {
    long long ans=1;
    while(b) 
    {
        if(b%2==1)
            ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
int main () {
    long long b,p,k;
    cin>>b>>p>>k;
    cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"=";
    cout<<mod(b,p,k)%k;
}

分治法在这方面还有一个妙用—-它可以用来高效的解方程
我们来看接下来这道题目
一元三次方程求解（洛谷p1024）
题意如下：
ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。
提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1

    for(int x=-100;x<=100;x++)
    if(f(x)*f(x+1.0)<=0)
    search(x,x+1.0);

search的内部函数怎么写呢？
首先我们知道精度是多少（0.01）
然后我们知道一个大概范围
所以我们只要将大范围划分为几个小范围，在小范围内找符合条件的区间，然后在小范围内部再划分——直到要求的精度以下（即精度右边减左边小于精度）
接下来让我们看下代码

void search(float l,float r)
{
    float mid=(l+r)/2;
    if(r-l<0.001)
    {
        printf("%.2f ",mid); 
        return;

    }
    else if(f(mid)==0)
    {
        printf("%.2f ",mid);

    }
    else if(f(r)==0)
    {
        printf("%.2f ",r);

    }
    if(f(l)*f(mid)<0) search(l,mid);
    if(f(mid)*f(r)<0) search(mid,r);
}