算法时间复杂度和空间复杂度

一，算法
算法：解决特定问题求解步骤的描述。在计算机中表现为指令的有限序 列，每条指令可表示一条个或多个操作。
二，算法具有五个特性

1. 输入：算法具有零个或多个输入。
2. 输出：只有一个或多个输出。
3. 有穷性：算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且一个步骤在可接受的时间内完成。就是不会出现死循环。。。
4. 确定性：每一个步骤都有确定含义，不会出现二义性
5. 可行性：每一步都能够通过执行有限次数完成 。

总结一下就三点：正确；能完结；无二义性。

三，度量一个算法的好与坏——–时间复杂度和空间复杂度
算法的时间复杂度和空间复杂度统称为算法的复杂度。

1. 时间复杂度：
   （1）时间频度：一个算法中语句执行次数，记为T(n)。
   时间复杂度实际上就是一个函数，该函数计算的是执行基本操作的次数。一个算法语句的执行次数是关于问题规模n的某个函数，我们把它记为f(n)，n就是问题的规模。当问题规模N变化时，T(n)也在变化，算法执行次数的增长速率和f(n)的增长速率相同，即T(n)=f(n)。当n趋于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则成f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为时间复杂度的O渐进表示法，也就是时间复杂度。
   （2）最好，最坏和平均算法复杂度：
   最好情况下：任意输入规模下的最大运行次数（上界）。
   最坏情况下：任意输入规模下的最小运行次数（下界）。
   平均情况：任意输入规模下的期望运行次数。
   我们一般讨论的都是最坏情况下的时间复杂度，因为
   1）最坏情况下的时间复杂度是任何输入下的运行时间上界。
   2） 对于某些算法，最坏情况出现的较为频繁。
   (3） 求时间复杂度
   一般算法O(n)计算方法：

*用常数1取代运行时间中的所以加法常数
*在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶
*如果最高阶系数存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
例如：

    int count = 0;//1
    for (int i = 0; i < 10; i++)//10
    {
        count++;//10
    }

这段程序的执行次数f(n)=1+10+10=21，用1取代加法常数，将基本语句执行次数的数量级放入O(f(n))中即O(1)；
再例如：

for (i = 0; i < n; i++) 
{
    for (j = 0; j < n; j++)
        x++;
}
for (i = 0; i < n; i++)
    x++;

第一个for循环的时间复杂度是O(n^2);第二个for循环的时间复杂度是O(n);第三个for循环的时间复杂度是O(n);，整个算法的时间复杂度是O(n^2+n) 保留最高阶即为O(n^2)；
在计算时间复杂度有几个分析法则：
第一：简单的输入输出语句或赋值语句，近似认为是O(1);
第二：对于顺序结构，用求和法则；
第三：对于选择结构，如if语句，它耗费的时间是在执行then 或else时所用时间，检验条件也要用时O(1)；
第四：对于循环结构，用乘法法则。
与刚才的计算方法本质其实是一样的。
举个例子：

    1.int i = 1;//1
    2.while (i <= n)
    3.{
    4.  i = i * 2;
    5.}

第一行是O(1)，第4行的频度是f(n)，2^f(n)<=n; f(n)<=log2n,即T(n)=O(log2n);

常见的时间复杂度：

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(logn),O(n),O(nlogn),O(n^2),O(n^3)成为多项式时间，而O(2^n),O(n^3)成为指数时间。前者为有效算法，这类问题成为P类(多项式)问题，后者成为NP(非确定多项式)问题。

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2.空间复杂度
一个算法的空间复杂度是该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数，一般情况下用O的渐进表示法，渐进空间复杂度也简称为空间复杂度。
空间复杂度在计算时要考虑到函数调用所需要的空间，以及动态开辟的空间，递归栈所需的空间。