oula

定义：    对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目；
                例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。
性质：  1.若p是质数，φ（p）= p-1.(在二中也就是k=1,n=p)
       2.若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1)   
       因为除了p的倍数都与n互质
       3.欧拉函数是积性函数，若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)
               根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式，因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。
               E(k)    = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
                        = i*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
                        = i*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pi)
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素) 
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;          
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
模板：
现在先来解释下欧拉函数的的定义:
    就是  正整数n里  小于N且与N互质(gcd为1)的数。
       （度娘：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。）




知道了用途后  然后靠强力模板了~~~




先来介绍个模板题：


#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>


int eular(int n)
{
        int ret=1,i;
        for (i=2;i*i<=n;i++)
        {
                if (n%i==0)
                {
                        n/=i,ret*=i-1;
                        while (n%i==0)
                                n/=i,ret*=i;
                }
        }
        if (n>1)
                ret*=n-1;
        return ret;
}
int main()
{
        int n ,a ;
        scanf("%d",&n);
        while(n--)
        {
                scanf("%d",&a);
                int res = eular(a);
                printf("%d\n",res);
        }
        return 0;
}




HDU 1286 找新朋友




#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>




using namespace std;




int euler(int x)
{// 就是公式
int i, res=x;
for (i = 2; i < (int)sqrt(x * 1.0) + 1; i++)
if(x%i==0)
  {
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i; // 保证i一定是素数 
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}




int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a;
cin>>a;
cout<<euler(a)<<endl;;
}
return 0;
}




HDU   2824    The Euler function
这到题要先打表处理    ，  否则会超时  ，  还要用  __int64




#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 3000005
__int64 phi[maxn];
int main()
{
    int i,j;
for (i = 1; i <= maxn; i++) phi[i] = i;
for (i = 2; i <= maxn; i += 2) phi[i] /= 2;
for (i = 3; i <= maxn; i += 2) if(phi[i] == i) {
    for (j = i; j <= maxn; j += i)
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        __int64 ans=0;
        for(i=a;i<=b;i++)
            ans+=phi[i];
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}


以下是2种求欧拉函数的算法
 1，
 void init()
  {
      __int64 i,j;
      e[1] = 1;
      for(i=2;i<=N;i++)
          if(!e[i])
          {             
              for(j=i; j<=N; j+=i)
              {    
                 if (!e[j])
                     e[j] = j;
                 e[j] = e[j] / i * (i-1);
            }    
         }
 }


2，利用素数筛选：
void init()
{
    __int64 i, j;
    
    p[0] = 1; //记录素数个数
    p[1] = 2;
    for (i=3; i<N; i+=2)
    {
        if (hash[i])
            continue;
        p[++p[0]] = i;
        for (j=i*i; j<N; j+=i)
            hash[j] = true;
    } //筛素数
    
    e[1] = 1;


    for (i=1; i<=p[0]; i++)
        e[p[i]] = p[i] - 1; //初始化素数的phi


    for (i=2; i<N; i++)
    {
        if(!e[i])
        {
            for (j=1; j<=p[0]; j++)
                if (i % p[j]==0)
                {
                    if (i / p[j] % p[j])
                        e[i] = e[i / p[j]] * e[p[j]];
                    else
                        e[i] = e[i / p[j] ]* p[j];
                    break;
                } // 利用上述性质求解
        }        
    }
    return ;
}
2，筛选法(求某一个数的)：
int euler(int x)
{
memset(a,0,sizeof(a));
int i,j;
for(i=2;i<=x;i++)
{
if(!a[i]&&x%i==0)//重点
{
for(j=i;j<x;j=j+i)
a[j]=1;
}
}
int s=0;
for(i=1;i<x;i++)
if(!a[i]) s++;
return s;
}


明显第一种的编程复杂度要低很多
所以，一般情况下（N不是很大），采用第一种即可；
贴在这里供以后复习