一、实验目的（本次实验所涉及并要求掌握的知识点）
掌握初等模型的建模方法，对简单的初等模型能借助Matlab工具软件进行辅助建模和求解。
二、实验内容与设计思想（设计思路、主要数据结构、主要代码结构、主要代码段分析、电路图）
1. 曲线最小二乘拟合问题：
- 多项式拟合（线性最小二乘拟合）：
1. 设计思路
- 首先定义了两个数组 x 和 y，分别表示自变量和因变量的取值。
- 使用 polyfit 函数进行二次多项式拟合，得到拟合的系数。
- 打印出拟合的二次多项式的系数。
- 生成更细致的 x 值，用于绘制拟合曲线，通过 polyval 计算对应的 y 值。
- 使用散点图和折线图将原始数据和拟合曲线绘制出来。
2. 主要数据结构
- x：自变量的值。
- y：因变量的值。
- p：存储拟合后得到的二次多项式系数。
3. 主要代码结构
- 用 polyfit 函数进行拟合。
- 用 fprintf 输出拟合系数。
- 用 linspace 和 polyval 生成拟合曲线的数据点。
4. 主要代码段分析
- p = polyfit(x, y, 2);
分析：用于计算 x 和 y 的二次多项式系数。返回一个包含多项式系数的数组 p，其中 p(1) 是二次项系数，p(2) 是一次项系数，p(3) 是常数项。
- scatter(x, y, 'filled');
- hold on;
- plot(x1, y1, 'LineWidth', 2);
分析：创建新的图形窗口，绘制原始数据点和拟合曲线，使用不同的图形元素进行区分。
- 运行结果图
图 1 二次多项式曲线拟合结果图
图 2 线性最小二乘拟合代码
- 非线性曲线拟合：
Lsqcurvefit函数：
1. 设计思路
- 定义了两个数组 t 和 y，分别表示自变量和因变量的取值。
- 使用匿名函数 modelFunc 定义了一个指数衰减模型，该模型依赖于参数A和输入变量 t。
- 设定拟合参数的初始猜测值 A0。
- 使用 lsqcurvefit 函数对模型进行拟合，并计算最佳参数。
- 打印出拟合得到的参数值。
2. 主要数据结构
- t：存储自变量。
- y：存储因变量。
- A0：初始猜测参数的数组。
3. 主要代码结构
拟合过程：调用 lsqcurvefit 进行模型拟合。
4. 主要代码段分析
- modelFunc = @(A, t) A(1) + A(2) * exp(-0.02 * A(3) * t);
分析：定义了一个匿名函数 modelFunc，用于表示拟合模型。该模型形式是一个常数项加上一个指数衰减项，依赖于参数 A 和输入变量 t。
- options = optimset('Display', 'off');
- [A1, resnorm] = lsqcurvefit(modelFunc, A0, t, y, [], [], options);
分析：使用 lsqcurvefit 函数进行非线性最小二乘拟合。modelFunc 是待拟合的模型，A0 是初始猜测，t 和 y 是数据，options 用于控制输出信息。返回值 A1 是拟合得到的参数，resnorm 是残差平方和。
- 运行结果图
图 3 Lsqcurvefit函数
图 4 用Lsqcurvefit函数非线性拟合
Lsqnonlin函数：
1. 设计思路
利用非线性最小二乘法 (lsqnonlin) 拟合模型参数，使模型输出与实际数据之间的残差最小化。
2. 主要数据结构
- t：自变量。
- y：因变量。
- A0：初始参数猜测，包含三个参数的列向量。
3. 主要代码结构
- 定义 t 和 y。
- 计算模型预测与实际值之间的差异。
- 给出参数的初始猜测。
- 使用 lsqnonlin 进行参数优化。
- 打印拟合得到的参数值。
4. 主要代码段分析
- residualsFunc = @(A) modelFunc(A, t) - y;
分析：匿名函数用于计算模型预测与实际值的残差。
- options = optimoptions('lsqnonlin', 'Display', 'off');
- [A_fit_nonlinear, resnorm_nonlinear] = lsqnonlin(residualsFunc, A0, [], [], options);
分析：使用 lsqnonlin 进行拟合，返回最佳参数和残差平方和。
- 运行结果图
图 5 Lsqnonlin函数
图 6 用Lsqnonlin函数非线性拟合
2. 初等模型求解：
1) 汽车刹车距离模型
- 设计思路：利用物理公式来计算不同初速度下的刹车距离。
2. 主要数据结构
- v0：初速度的数组。
- s：刹车距离的数组，初始化为零。
3. 主要代码结构
- 定义初速度 v0 和加速度 a。
- 使用物理公式计算每个初速度对应的刹车距离。
- 打印初速度与刹车距离的表格。
- 绘制初速度与刹车距离的关系图。
4. 主要代码段分析
- s = (v0.^2) / (2 * a);
分析：使用公式进行向量运算，快速计算所有初速度对应的刹车距离。
- 运行结果图
图 7 初速度与刹车距离关系
图 8 初速度与刹车关系运行结果
2. 举重关系模型
- 设计思路
通过对举重运动员的级别和成绩数据进行对数变换，使用线性回归拟合幂函数模型，从而预测不同重量级别下的成绩，并比较拟合模型与指定模型的预测值，同时计算并排名2020年东京奥运会的折合成绩。
2. 主要数据结构
- weights_world：各级别的重量（kg）。
- records_world：对应的总成绩（kg）。
- log_weights、log_records：对数变换后的数据。
- predicted_fit、predicted_specified：拟合模型和指定模型的预测值。
- weights_olympics、records_olympics：东京奥运会的数据。
- ranked_scores、rank_indices：排序后的折合成绩及其索引。
3. 主要代码结构
- 定义世界级别的重量和成绩。
- 将重量和成绩进行对数变换以便于线性回归。
- 使用polyfit函数对对数变换后的数据进行一次多项式拟合，计算出模型参数。
- 分别计算拟合模型和指定模型的预测值。
- 输出实际成绩与预测成绩的比较。
- 计算2020年东京奥运会的折合成绩并进行排名。
4. 主要代码段分析
coeffs = polyfit(log_weights, log_records, 1);
b = coeffs(1); % 斜率
log_a = coeffs(2); % 截距
a = exp(log_a); % 计算 a
分析：使用线性回归得到拟合的幂函数模型的参数，其中b是斜率，a是经过指数变换后的截距。
equivalent_scores = a * (weights_olympics .^ b);
[ranked_scores, rank_indices] = sort(equivalent_scores, 'descend');
分析：根据拟合模型计算奥运会各级别的折合成绩，并进行降序排序。
- 运行结果图
图 9 总代码1
图 10 总代码2
图 11 运行结果图
图 12 实际成绩与预测成绩比较图
三、实验使用环境（本次实验所使用的平台和相关软件）
MATLAB
四、实验步骤和调试过程（实验步骤、测试数据设计、测试结果分析）
1. 实验步骤
- 对于实验二的每一题都是先定义题中的自变量和因变量，以便进行后续分析。
- 前两题进行线性拟合与非线性拟合，刹车问题利用物理公式计算出未知数，而最后一题是先对重量和成绩进行对数变换，使其符合线性关系，后使用polyfit函数对对数变换后的数据进行一次多项式拟合，计算出幂函数模型的参数（斜率和截距）。
- 打印拟合的模型公式，展示模型的形式及参数。
- 制作直观图或带入问题计算。
2. 测试数据设计
1）多项式拟合：
自变量 x：包含10个数据点。
因变量 y：与 x 对应的一组观察值，展示非线性关系。
2）刹车问题：
初速度 v0：设置为 10, 20, 30, 40, 50 m/s，测试不同速度下的刹车效果。
加速度 a：固定为 8 m/s²，以模拟特定制动条件。
3）体重问题：
- 世界级别数据：
重量（kg）：[56, 62, 69, 77, 85, 94, 105]
成绩（kg）：[305, 327, 358, 380, 394, 418, 436]
这些数据用于建立基本的幂函数模型，反映不同级别运动员的表现。
- 2020年东京奥运会数据：
重量（kg）：[61, 67, 73, 81, 96, 109]
成绩（kg）：[313, 332, 364, 374, 402, 430]
这些数据用于评估在实际赛事中运动员的表现，并计算出折合成绩以便进行排名。
3. 测试结果分析
1）多项式拟合：
- 输出的二次多项式系数提供了函数的具体形式。
- 散点图与拟合曲线的结合展示了拟合效果，便于判断模型的拟合程度。图中显示了数据点和拟合曲线的吻合程度。
2）刹车问题：
曲线图显示刹车距离随初速度平方增长，反映出较高速度下刹车需求增加。
3）举重问题：
- 拟合模型参数：
通过线性回归得到的幂函数模型形式为 y = a * w^b，其中a和b是通过数据拟合得到的参数。打印出的模型可以用于预测其他级别的成绩。
- 预测值比较：
将实际成绩与拟合模型和指定模型的预测值进行比较，以评估模型的准确性。通过输出的表格，可以直观地观察到哪个模型更接近实际成绩。
五、实验小结（实验中遇到的问题及解决过程、实验中产生的错误及原因分析、实验体会和收获）
- 这次实验使我明白了在任何数据分析中，确保数据的准确性和完整性是基础。只有验证数据才能保证后续分析的有效性。
- 我初步掌握了初等模型的建模方法，对简单的初等模型能借助Matlab工具软件进行辅助建模和求解。
- 本次实验暴露出来的最大的问题还是和实验一一样，对于基础函数的了解不够深刻，在每一题都需要重新上网搜索，了解新函数的用法。
- 在实验中，我对于浮点数和整数的格式使用不当，导致输出结果混乱。而后我检查每个 fprintf 的调用，确保格式字符串与传入参数的类型一致。并且使用 %f 替代 %d 处理浮点数，确保输出的可读性。
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