代码随想录算法训练营第二十一天，第六章二叉树 | 530.二叉搜索树的最小绝对差 501.二叉搜索树中的众数 236. 二叉树的最近公共祖先

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原创 2022-11-23 14:12:54 162 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

哈密顿-雅可比不等式：连接最优控制与优化算法的自然物理原理在控制理论与优化算法之间，存在一个深刻而实用的桥梁。最优控制理论旨在通过设计控制输入，使动态系统在时间维度上达到性能最优，其核心数学工具如庞特里亚金极大值原理和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，为解决连续时间系统的优化问题提供了优雅框架。然而，这些方法在高维非凸问题中面临求解难题。哈密顿-雅可比不等式作为一种松弛方法，通过构造李雅普诺夫函数并验证一个不等式条件，转而寻求性能有保障且易于实现的次优解，其本质是保证系统能量衰减和性能上界。这一原理与耗散性理论紧密相连，体现了自然物理系统（如阻尼振动）中能量耗散的普遍规阅读详情

530.二叉搜索树的最小绝对差

思路

题目中要求在二叉搜索树上任意两节点的差的绝对值的最小值。**注意是二叉搜索树，**二叉搜索树可是有序的。遇到在二叉搜索树上求什么最值啊，差值之类的，就把它想成在一个有序数组上求最值，求差值，这样就简单多了。
递归
那么二叉搜索树采用中序遍历，其实就是一个有序数组。最直观的想法，就是把二叉搜索树转换成有序数组，然后遍历一遍数组，就统计出来最小差值了。

c++实现（变为有序数组，再计算差值）

class Solution{
private:
    vector<int> vec;
    void traversal(TreeNode* root){
        if(root == nullptr)
            return;
        traversal(root->left);
        vec.push_back(root->val);
        traversal(root->right);
    }
public:
    int getMinimumDifference(TreeNode* root){
        vec.clear();
        traversal(root);
        int result = INT_MAX;
        for (int i = 1; i < vec.size(); ++i) 
            result = min(result,vec[i] - vec[i-1]);
        return result;
    }
};

其实在二叉搜素树中序遍历的过程中，我们就可以直接计算了。
在这里插入图片描述

c++实现（一次遍历）

class Solution{
private:
    int result = INT_MAX;
    TreeNode *pre = nullptr;
    void traversal(TreeNode *cur){
        if(cur == nullptr)
            return;
        traversal(cur->left);
        if(pre != NULL){
            result = min(result, cur->val - pre->val);
        }
        pre = cur;
        traversal(cur->right);
    }
public:
    int getMinimumDifference(TreeNode* root){
        traversal(root);
        return result;
    }

};

总结

遇到在二叉搜索树上求什么最值，求差值之类的，都要思考一下二叉搜索树可是有序的，要利用好这一特点。

501.二叉搜索树中的众数

思路

这道题目呢，递归法我从两个维度来讲。
首先如果不是二叉搜索树的话，应该怎么解题，是二叉搜索树，又应该如何解题，两种方式做一个比较，可以加深对二叉树的理解。

递归法

如果不是二叉搜索树
如果不是二叉搜索树，最直观的方法一定是把这个树都遍历了，用map统计频率，把频率排个序，最后取前面高频的元素的集合。
具体步骤如下：

这个树都遍历了，用map统计频率
至于用前中后序那种遍历也不重要，因为就是要全遍历一遍，怎么个遍历法都行，层序遍历都没毛病！
这里采用前序遍历，代码如下：

// map<int, int> key:元素，value:出现频率
void searchBST(TreeNode* cur, unordered_map<int, int>& map) { // 前序遍历
    if (cur == NULL) return ;
    map[cur->val]++; // 统计元素频率
    searchBST(cur->left, map);
    searchBST(cur->right, map);
    return ;
}

把统计的出来的出现频率（即map中的value）排个序
C++中如果使用std::map或者std::multimap可以对key排序，但不能对value排序。
所以要把map转化数组即vector，再进行排序，当然vector里面放的也是pair<int, int>类型的数据，第一个int为元素，第二个int为出现频率。

bool static cmp (const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
    return a.second > b.second; // 按照频率从大到小排序
}
vector<pair<int, int>> vec(map.begin(), map.end());
sort(vec.begin(), vec.end(), cmp); // 给频率排个序

取前面高频的元素
此时数组vector中已经是存放着按照频率排好序的pair，那么把前面高频的元素取出来就可以了。

result.push_back(vec[0].first);
for (int i = 1; i < vec.size(); i++) {
    // 取最高的放到result数组中
    if (vec[i].second == vec[0].second) result.push_back(vec[i].first);
    else break;
}
return result;

c++实现

class Solution{
private:
    void searchBST(TreeNode* cur, unordered_map<int, int>& map){
        if(cur == nullptr)
            return;
        map[cur->val]++;
        searchBST(cur->left, map);
        searchBST(cur->right,map);
        return;
    }
    bool static cmp(const pair<int, int> &a, const pair<int, int> &b){
        return a.second > b.second;
    }
public:
    vector<int> findMode(TreeNode* root){
        // key:元素，value:出现频率
        unordered_map<int, int> map;
        vector<int> result;
        if(root == nullptr)
            return result;
        searchBST(root, map);
        vector<pair<int, int>> vec(map.begin(), map.end());
        sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
        result.push_back(vec[0].first);
        for (int i = 1; i < vec.size(); ++i) {
            if(vec[i].second < vec[0].second)
                break;
            else  
                result.push_back(vec[i].first);
        }
        return result;
    }
};

是二叉搜索树

既然是搜索树，它中序遍历就是有序的。
在这里插入图片描述
中序遍历代码如下：

void searchBST(TreeNode* cur) {
    if (cur == NULL) return ;
    searchBST(cur->left);       // 左
    （处理节点）                // 中
    searchBST(cur->right);      // 右
    return ;
}

遍历有序数组的元素出现频率，从头遍历，那么一定是相邻两个元素作比较，然后就把出现频率最高的元素输出就可以了。
在树上怎么做呢？
弄一个指针指向前一个节点，这样每次cur（当前节点）才能和pre（前一个节点）作比较。
而且初始化的时候pre = NULL，这样当pre为NULL时候，我们就知道这是比较的第一个元素。
代码如下：

if (pre == NULL) { // 第一个节点
    count = 1; // 频率为1
} else if (pre->val == cur->val) { // 与前一个节点数值相同
    count++;
} else { // 与前一个节点数值不同
    count = 1;
}
pre = cur; // 更新上一个节点

此时又有问题了，因为要求最大频率的元素集合（注意是集合，不是一个元素，可以有多个众数），如果是数组上怎么办？
应该是先遍历一遍数组，找出最大频率（maxCount），然后再重新遍历一遍数组把出现频率为maxCount的元素放进集合。（因为众数有多个）这种方式遍历了两遍数组。
但这里其实只需要遍历一次就可以找到所有的众数。
如果频率count 等于 maxCount（最大频率），当然要把这个元素加入到结果集中（以下代码为result数组），代码如下：

if (count == maxCount) { // 如果和最大值相同，放进result中
    result.push_back(cur->val);
}

是不是感觉这里有问题，result怎么能轻易就把元素放进去了呢，万一，这个maxCount此时还不是真正最大频率呢。
所以下面要做如下操作：
频率count 大于 maxCount的时候，不仅要更新maxCount，而且要清空结果集（以下代码为result数组），因为结果集之前的元素都失效了。

if (count > maxCount) { // 如果计数大于最大值
    maxCount = count;   // 更新最大频率
    result.clear();     // 很关键的一步，不要忘记清空result，之前result里的元素都失效了
    result.push_back(cur->val);
}

C++实现

class Solution{
private:
    int maxCount = 0;
    int count = 0;
    TreeNode *pre = nullptr;
    vector<int> result;
    void searchBST(TreeNode* cur){
        if(cur == nullptr)
            return;
        // 左
        searchBST(cur->left);
        // 中
        if(pre == nullptr)  // 第一个节点
            count = 1;
        else if(pre->val == cur->val)
            count++;   // 与前一个节点数值相同
        else
            count = 1;  // 与前一个节点数值不同
        pre = cur;    // 更新上一个节点
        if(count == maxCount)
            result.push_back(cur->val);
        else if(count > maxCount){
            maxCount = count;
            result.clear();
            result.push_back(cur->val);
        }
        searchBST(cur->right);
        return;
    }
public:
    vector<int> findMode(TreeNode* root){
        searchBST(root);
        return result;
    }
};

236. 二叉树的最近公共祖先

前提：

所有节点的值都是唯一的。
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

思路

遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了，这样就可以找到公共祖先了。
那么二叉树如何可以自底向上查找呢？
回溯，二叉树回溯的过程就是从低到上。
后序遍历（左右中）就是天然的回溯过程，可以根据左右子树的返回值，来处理中节点的逻辑。
接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共公共祖先呢。
首先最容易想到的一个情况：如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。即情况一：
在这里插入图片描述
判断逻辑是如果递归遍历遇到q，就将q返回，遇到p 就将p返回，那么如果左右子树的返回值都不为空，说明此时的中节点，一定是q 和p 的最近祖先。
会不会左子树遇到q 返回，右子树也遇到q返回，这样并没有找到 q 和p的最近祖先。题目强调：二叉树节点数值是不重复的，而且一定存在 q 和 p。
但是很多人容易忽略一个情况，就是节点本身p(q)，它拥有一个子孙节点q§。情况二：
在这里插入图片描述
其实情况一和情况二代码实现过程都是一样的，也可以说，实现情况一的逻辑，顺便包含了情况二。
因为遇到 q 或者 p 就返回，这样也包含了 q 或者 p 本省就是公共祖先的情况。
递归三部曲：

确定递归函数返回值以及参数
需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点q或者p，那么返回值为bool类型就可以了。

但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode * ，那么如果遇到p或者q，就把q或者p返回，返回值不为空，就说明找到了q或者p。

TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)

确定终止条件
遇到空的话，然后然后空，因为树都是空了，所以返回空。
如果 root == q，或者 root == p，说明找到 q p ，则将其返回，这个返回值，后面在中节点的处理过程中会用到，那么中节点处理逻辑，后下面讲解。

if (root == q || root == p || root == NULL) return root;

确定单层递归逻辑
本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。
如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？
搜索一条边的写法：

if (递归函数(root->left)) return ;
if (递归函数(root->right)) return ;

搜索整个树写法：

left = 递归函数(root->left);  // 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理;         // 中

在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）。
那么为什么要遍历整棵树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。
在这里插入图片描述
就像图中一样直接返回7，多美滋滋。
但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的节点4、15、20。
因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理，不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。

left = 递归函数(root->left);  // 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理;         // 中

所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。
那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值，代码如下：

TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);

如果left 和 right都不为空，说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解
如果left为空，right不为空，就返回right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然。
在这里插入图片描述
图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！那么如果left和right都为空，则返回left或者right都是可以的，也就是返回空。

if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else  { //  (left == NULL && right == NULL)
    return NULL;
}

那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：
在这里插入图片描述

c++实现

class Solution236{
public:
    TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q){
        if(root == q || root == p || root == nullptr)
            return root;
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(left != nullptr && right != nullptr)
            return root;
        else if(left == nullptr && right != nullptr)
            return right;
        else
            return nullptr;
    }

};