《机器学习线性代数基础：Python语言描述》读书笔记----变换基底时的坐标换算

同一个向量在不同基底下的坐标计算。

坐标的表示是基于基底的

先来个简单的例子：在默认基底$(a=[1,0{]}^T,b=[0,1{]}^T$下，有向量$u=[3,3{]}^T$，u的完整表达其实为
$$u=3a+3b=3\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\ast 1+3\ast 0\\ 3\ast 0+3\ast 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$$
若将基底换为$(a^{\ast }=[1,2{]}^T,b^{\ast }=[2,1{]}^T）$，此时u的坐标要如何计算。下面给出两种方法：

方法一：
$$\begin{gathered} u=3a+3b \\ 设新坐标为(m,n)，则在新基底下 \\ u=m{a}^{\ast }+n{b}^{\ast }=m(a+2b)+n(2a+b) \\ u=(m+2n)a+(2m+n)b \\ m+2n=3; \\ 2n+m=3; \\ m=n=1 \end{gathered}$$
新坐标为（1，1）

方法二：

还是先给出在a，b为基底下视角，基底$a^{\ast },b^{\ast }$下，u的表达
$$u=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=[3,3{]}^T$$
这里回顾一个知识，矩阵乘以向量从空间上看是改变向量的空间位置，在矩阵满足基底条件下，其实就是变换坐标的基底，将其变为在新基底下的坐标。

在$a^{\ast },b^{\ast }$作为基底时，其实对于这个基底的向量所描述坐标，$a^{\ast },b^{\ast }$就是$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，但是在a，b为基底的视角看，KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 5: [a^*&̲b^*] = \begin{b…，因此，首先要把a，b的基底换为$(a^{\ast },b^{\ast })$，如a转换基底后，为：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=[3,0{]}^T$$
同理得：$b=[0,3{]}^T$

此时要把在基底$(a^{\ast },b^{\ast })$下的$u=[1,1]$，即
$$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=[3,3{]}^T$$
可见$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$就是两个描述的转换矩阵，乘以它的逆矩阵就可以从默认空间转过去。

方法三 ：

设在$(a^{\ast },b^{\ast })$基底下的坐标为（m,n）
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$$
得m=n=1

其实三种方法的核心思想就是矩阵乘以向量就是变换基底（假设这个矩阵是符合一个基底的条件的），根据这个思想，其实怎么解都是可以的。

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/151192770