矩阵通过乘法实现空间中的向量映射，可以导致向量在低维或高维空间中的变换。降维时，矩阵行数小于列数，向量被压缩到低维空间；升维则反之。矩阵的秩决定了新空间的维数，它是理解矩阵映射关键。
矩阵其实描述了空间中的映射
矩阵与空间映射
由于矩阵乘法的作用，原始向量的空间位置甚至其所在空间的维度和形状都发生了改变，这便是矩阵乘法的空间映射作用。
Ax=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn][x1x2⋮xn]=[a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn]=x1[a11a21⋮am1]+⋯+xn[a1na2n⋮amn]
Ax = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n\end{bmatrix}
=x_1\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}
\end{bmatrix}
+\cdots+
x_n
\begin{bmatrix}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}
\end{bmatrix}
Ax=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn⎦⎥⎥⎥⎤=x1⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1⎦⎥⎥⎥⎤+⋯+xn⎣⎢⎢⎢⎡a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤
降维与升维
根据向量所乘矩阵的尺寸大小，向量可能会被映射到与原来相比低的维度空间中，或着被映射到更高维的空间中。
降维
当式1中，当m<n时，矩阵A的行数小于列数。可以发现投影后，x被转换到了一个维数更低的新空间的新位置中。
换言之，在这种情况下矩阵A压缩了原始空间RnR^nRn。
但新的空间的维数并不一定就是RmR^mRm，这个在后面会统一说明。
升维
当式1中，当m>n时，矩阵A的行数小于列数。可以发现投影后，x被转换到了一个维数更”高“的新空间的新位置中。
从结果上看，x经矩阵A映射后维数提高了，但并没有由原始向量x所构成的空间RnR^nRn变成了维数更高的空间。更具A的情况，甚至到了一个更低维度的空间。
秩
定义：一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
决定经过矩阵乘法后的新空间的就是算法A的秩，因为秩决定了算法A可以描述的空间大小。
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