矩阵与向量
矩阵
由 m × n 个数aija_{ij}aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m × n矩阵。
可以看作是n个m维列向量从左到右并排摆放;行向量视角同理。
矩阵与向量
向量可以看作是一维矩阵:n维的列向量可以看作是一个n×1的矩阵。
矩阵乘以向量
首先,根据上面所述可知,这其实是满足矩阵间运算法则的,因此具体法则为:
[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn][x1x2⋮xn]=[a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn]
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n
\end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn⎦⎥⎥⎥⎤
从结果看,在指定矩阵的乘法作用下,原始空间中的向量被映射到了目标空间中。可见,从这个角度看,矩阵间乘法的意义其实是空间映射 。
变换“基底”
矩阵与向量的乘法,本质上可以看作是对向量"基底"的一种改变。
Ax=[abcd][x1x2]=[ax1+bx2cx1+dx2]=x1[ac]+x2[bd]
Ax=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax_1+bx_2 \\ cx_1+dx_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}
Ax=[acbd][x1x2]=[ax1+bx2cx1+dx2]=x1[ac]+x2[bd]
结合前面对”基底“的叙述发现,式子刚好就是把默认”基底“换成了ac和bd。
为什么”基底“要加双引号,因为不是每个矩阵都满足构成基底的条件。同样,改变基底的本质也是空间的映射。关键还是得从这个角度去理解。