《机器学习线性代数基础：Python语言描述》读书笔记----矩阵与向量

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/aaalswaaa1/article/details/121703220

本文解析了矩阵乘以向量的运算原理，揭示其作为空间映射的实质，并探讨了如何通过矩阵改变向量的基底。理解基底转换是掌握矩阵运算核心的关键。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

矩阵与向量

矩阵

由 m × n 个数 $a_{ij}$ 排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。

可以看作是n个m维列向量从左到右并排摆放；行向量视角同理。

矩阵与向量

向量可以看作是一维矩阵：n维的列向量可以看作是一个n×1的矩阵。

矩阵乘以向量

首先，根据上面所述可知，这其实是满足矩阵间运算法则的，因此具体法则为：
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix}$
从结果看，在指定矩阵的乘法作用下，原始空间中的向量被映射到了目标空间中。可见，从这个角度看，矩阵间乘法的意义其实是空间映射 。

变换“基底”

矩阵与向量的乘法，本质上可以看作是对向量"基底"的一种改变。
$Ax=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax_1+bx_2 \\ cx_1+dx_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}$
结合前面对”基底“的叙述发现，式子刚好就是把默认”基底“换成了ac和bd。