aa67176577-优快云博客

转载来自贴吧的一个题目

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )}{x}\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$注意到：\[\int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )}{x}\mathr...

2016-06-06 14:16:00 222

转载鬼斧神工：求n维球的体积

原文地址：http://spaces.ac.cn/archives/3154/原文作者：苏剑林标准思路简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分\[V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\dots \mathrm{d}x_n\]用更加几何的思路，我们通过一组平行...

2016-05-27 09:09:00 475

转载一个双曲函数的积分

\[\Large\displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{\tanh\left(\, x\,\right)}{x\left[\, 1 - 2\cosh\left(\, 2x\,\right)\,\right]^{2}}\,{\rm d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$A possible way I see of do...

2016-05-15 21:06:00 1059

转载一个超几何函数$_3F_2$的积分

\[\Large\displaystyle \int_0^\infty{_3F_2}\left(\begin{array}c\dfrac58,\dfrac58,\dfrac98\\\dfrac12,\dfrac{{13}}8\end{array}\middle|\ {-x}\right)^2\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt x}\]\(\Large\mathbf{So...

2016-05-15 20:51:00 288

转载复杂的对数积分（八）

\[\Large\displaystyle \int_0^\infty\frac{\ln\left(1+x+\sqrt{x^2+2\,x}\right)\,\ln\left(1+\sqrt{x^2+2\,x+2}\right)}{x^2+2x+1}\mathrm dx\]$\Large\mathbf{Solution:}$This integral can be solved ...

2016-05-14 21:52:00 166

转载一个有意思的对数积分的一般形式

\[\Large\displaystyle\int_0^\infty\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{1+x^{4+\sqrt{15\vphantom{\large A}}}}{1+x^{2+\sqrt{3\vphantom{\large A}}}}\right)}{\left(1+x^2\right)\ln x}\mathrm dx=\frac{\pi...

2016-05-14 21:43:00 191

转载复杂的对数积分（七）

\[\Large\displaystyle \int_0^1\frac{\ln x\ln^2(1+x)}{x}\ \mathrm dx\]$\Large\mathbf{Solution:}$\[\begin{align*}\int_0^1\frac{\ln x\ln^2(1+x)}{x}\ \mathrm dx&=\frac{1}{2}\ln^2 x\ln^2(1+x...

2016-05-14 20:44:00 179

转载 Logarithmic-Trigonometric积分系列（二）

\[\Large\displaystyle \int_0^{\pi/2}\ln^2(\sin x)\ln(\cos x)\tan x \,{\rm d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$Let $J$ donates the integral and it is easy to see that\[\begin{align*}J&=\in...

2016-05-13 10:58:00 145

转载 Logarithmic-Trigonometric积分系列（一）

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x^{2}\ln\left ( \sin x \right )\ln\left ( \cos x \right )\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$Tools Needed\[\frac{1}{k\left ( j- k \right )^...

2016-05-13 10:48:00 159

转载 Some series and integrals involving the Riemann zeta function binomial coefficients and the harmonic...

链接：http://pan.baidu.com/s/1eSNkz4Y转载于:https://www.cnblogs.com/Renascence-5/p/5488448.html

2016-05-13 10:21:00 93

转载 Euler Sums系列（六）

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{2n}}{n(6n+1)}\]$\Large\mathbf{Solution:}$Let $S$ denote the sum. Then\[\begin{align*}S=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n(6n+1)} &= \...

2016-05-12 16:24:00 161

转载 Euler Sums系列（五）

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{H_n}}{n^{3}}\]where $\widetilde{H_n}$ is the alternating harmonic number.$\Large\mathbf{Solution:}$Namely,\[\widetilde{H_n} = \...

2016-05-12 16:09:00 150

转载级数欣赏

\[\sum_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}}}{k}} } \right) = \frac{7}{4}\zeta \left( 3 \right)\ln 2 - \frac{{{\pi ^4}}}{{28...

2016-05-12 15:40:00 99

转载两个椭圆积分的比值

计算下面两个积分的比值：\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}\mathrm{d}t~,~\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t^{4}}}\mathrm{d}t\]$\Large\mathbf{Solution:}$由\[\begin{align*}\int_{0}^{1...

2016-05-11 20:00:00 280

转载一个简单的对数积分

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln\left ( 1+x^{2} \right )}{1+x^{2}}\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$方法一：考虑含参积分\[\mathcal{I}\left ( \alpha \right )=\int_{0}^{1}\frac{\ln\lef...

2016-05-11 19:52:00 432

转载两个Beta函数类型的积分及其一般形式

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sqrt[4]{x\left ( 1-x \right )^{3}}}{\left ( 1+x \right )^{3}}\mathrm{d}x~~,~~\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[3]{x\left ( 1-x \right )^{2}}}{\left ( 1+x \right )^{...

2016-05-11 19:33:00 3091

转载【转载】巴塞尔问题(Basel Problem)的多种解法

如何计算 $\displaystyle \zeta \left ( 2 \right )=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots =~?$ 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利（Pietro Mengoli）提出的，而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题。他得出著名的结果：\[\Huge\boxed...

2016-05-11 16:43:00 2283

转载两本关于各种刁钻积分计算的书

1.Irresistible Integralshttp://pan.baidu.com/s/1c2z7QWo2.Inside Interesting Integralshttp://pan.baidu.com/s/1jI6Nkf8转载于:https://www.cnblogs.com/Renascence-5/p/5482321.html

2016-05-11 16:19:00 151

转载一个超几何函数类型的积分

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^{3}}\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$易知\[\int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^{3}}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{-\frac{1}{3}}\left ( 1+x \right ...

2016-05-10 20:46:00 975

转载一个取整函数积分的一般形式

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{[x]}\left ( t-\left [ t \right ] \right )\mathrm{d}t=\frac{[x]}{2}\]$\Large\mathbf{Proof:}$我们来看更一般的形式，令$m=\left \lfloor a \right \rfloor$，有\[\begin{align*}...

2016-05-10 20:41:00 1582

转载一个看似简单的积分

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\left [ \frac{1+\sqrt{1-x}}{x} +\frac{2}{\ln\left ( 1-x \right )}\right ]\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$方法一：令$\ln(1-x)=-t$，有\[\begin{align*}\int...

2016-05-10 20:30:00 97

转载 Clausen Functions (and related series, functions, integrals)

Since the Clausen functions are intimately related to a number of other important special functions, such as Inverse Tangent Integrals, Polylogarithms, Polygamma Functions, Zeta Functions, and mo...

2016-05-10 19:36:00 187

转载高次arccos积分

\[\Large\displaystyle \int_0^{1} \frac{\arccos^4 \left(x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$Let $I$ denote the integral. Using the substitution \(x=\sqrt{\cos ...

2016-05-09 20:29:00 748

转载复杂的对数积分（六）

\[\Large\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\operatorname{Li}_2\left(\dfrac{x}{4}\right)}{4-x}\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi^4}{1944}\]\(\Large\mathbf{Proof:...

2016-05-09 20:10:00 183

转载一组关于{x}的积分

\[\Large\displaystyle \int_{0}^{1}\left \{ \frac{1}{x} \right \}\mathrm{d}x~，~\int_{0}^{1}\left \{ \frac{1}{x} \right \}^{2}\mathrm{d}x~，~\int_{0}^{1}\left \{ \frac{1}{x} \right \}^{3}\mathrm{d}x...

2016-05-09 20:04:00 437

转载复杂的对数积分（五）

\[\Large\displaystyle \int_0^1\frac{\ln^3(1+x)\,\ln^3x}x\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$Using the following known results:\[\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n2^{n}}&...

2016-05-09 17:16:00 193

转载复杂的对数积分（四）

\[\Large\displaystyle \int_0^1\frac{\ln^3(1+x)\,\ln^2x}x\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$I will be using the following results:\[2\sum^\infty_{n=1}\frac{H_n}{n^q}=(q+2)\zeta(q+1)-\sum...

2016-05-05 17:11:00 107

转载一个超几何函数等式

\[\Large\displaystyle {\;}_3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,\frac{3}{2};1 \right)=\frac{4\mathbf{G}}{\pi}\]$\Large\mathbf{Proof:}$Well, after simplifying the pochhammer symbol...

2016-05-05 11:09:00 285

转载复杂的对数积分（三）

\[\Large\displaystyle \int_0^\infty \frac{\ln \left(1+\dfrac{\pi^2}{4x} \right)}{e^{\sqrt{x}}-1}\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$Step 1 - SplitLet \(\displaystyle I=\int_0^\infty \fra...

2016-05-04 20:08:00 216

转载一个含有伽马函数的级数

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{(2n+1)^4\,4^n\,n!}\]$\Large\mathbf{Solution:}$First, in view of Legrende's duplication formula,\[\begin{align...

2016-05-04 16:30:00 342

转载 Euler Sums系列（四）

\[\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G}-\frac{\pi}{2}\ln(2)\]$\Large\mathbf{Proof:}$$\Large\mathbf{Method~One:}$Using the relation \(\displaystyle H_{n}...

2016-05-04 16:05:00 100

转载一个含有Fibonacci Number的级数

\[\Large\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F_{2n+1}+1}=\frac{\sqrt5}{2}\]$\Large\mathbf{Proof:}$Let $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ denote the golden ratio. Then consider the partial su...

2016-05-04 14:35:00 131

转载一个含有超几何函数的积分

\[\Large\int_0^{\large \frac{\pi}{2}} \ln^2\left(\tan\frac{x}{2}\right){ _3F_2}\left(\frac12,1,1;\frac32,\frac32;\sin^2 x \right)\mathrm{d}x = \frac{5 \pi^5}{384}\]$\Large\mathbf{Proof:}$The...

2016-05-02 20:52:00 354

转载一类Log-Gamma积分的一般形式

\[\Large\int_{0}^{z}x^{t}\ln\Gamma \left ( 1+x \right )\mathrm{d}x~,~z>0\, ,\, t\in N^{*}\]$\Large\mathbf{Solution:}$Notice that\[\begin{align*}\int_{0}^{z}x^{t}\ln\Gamma \left ( 1+x \r...

2016-04-27 19:46:00 643

转载一个含有Zeta函数的级数

\[\Large\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2^{2k-1}-2)(4^{2k+1}-3^{2k+1})}{144^k\,k\,(2k+1)}\zeta(2k)\]$\Large\mathbf{Solution:}$Within the interval $\displaystyle 0\ < x < \pi/2\,$, the logt...

2016-04-27 19:12:00 159

转载 Euler Sums系列（三）

\[\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2}(3)\]$\Large\mathbf{Proof:}$We use the Abel's rearrangement over the $N$-th partial sum...

2016-04-27 18:58:00 108

转载 Euler Sums系列（二）

\[\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)\]$\Large\mathbf{Proof:}$Let $\displaystyle S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}$ and \(\displaystyle S_2 = \sum_{...

2016-04-27 17:25:00 137

转载一个arctan积分的两种解法

\[\Large\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x\]$\Large\mathbf{Solution:}$首先第一种做法，含参积分.不多说直接上图第二种方法则是利用级数，易知\[\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\sqrt{1-x^{2}}}...

2016-04-27 12:43:00 3117

转载一个Log-Tan积分

\[\Large\int_{0}^{\pi }\theta \ln\tan\frac{\theta }{2}\mathrm{d}\theta \]$\Large\mathbf{Solution:}$显然\[\int_{0}^{\pi }\theta \ln\tan\frac{\theta }{2}\mathrm{d}\theta =4\int_{0}^{\pi /2}x\ln...

2016-04-26 21:39:00 195

转载【★】四本非常有用的工具书！

1.Table of Integrals,Series and Products , Eighth Edition , I.S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik这就是众所周知的"积分大典"，也是最新版，包含了巨量的积分公式，绝对是值得拥有的，遗憾的是只有公式，没有证明，当然，在书的开头作者给出了一个网站，上面有部分公式的证明.http://pan.baidu.com/sh...

2016-04-26 21:00:00 320

空空如也

空空如也