四阶行列式的拉普拉斯展开与计算-优快云博客

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定理1.1 :n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的之和.

定理1.2 :n阶行列式D的某一行(列)的各元素与另一行对应元素代数余子式乘积的和等于0.

定理1.3,拉普拉斯定理:在n阶行列式中,任意取顶k(1<k<n-1),这个k阶子式与他们的代数余子式的乘积之和等于行列式D:

求和行列式 $\left| \begin{aligned} 2 \ 3 \ 0\ 0 \\ 1\ 2\ 3 \ 0 \\ 0 \ 1\ 2\ 3\\ 0\ 0 \ 1\ 2 \\\end{aligned} \right |$ 的值

这个是四阶--取2阶子式取1,2行,1,2列,两行两列的2阶子式是 $\left| \begin{aligned} 2 \ 3 \\ \ 1\ 2 \\\end{aligned} \right |$ = 1

他们的代数余子式就是剩下右下角的四个数: $\begin{aligned}(-1)^{(1+2+1+2)} \end{aligned} \left| \begin{aligned} 2\ 3 \\ 1 \ 2 \end{aligned} \right |$ , = 1

这个是四阶--取2阶子式取1,2行,1,3列,两行两列的2阶子式是 $\left| \begin{aligned} 2 \ 0 \\ \ 1\ 3 \\\end{aligned} \right |$ = 6

他们的代数余子式就是剩下右下角的四个数: $\begin{aligned}(-1)^{(1+2+1+3)} \end{aligned} \left| \begin{aligned} 1\ 3 \\ 0 \ 2 \end{aligned} \right |$ ,= -2

这个是四阶--取2阶子式取1,2行,2,3列,两行两列的2阶子式是 $\left| \begin{aligned} 3 \ 0 \\ \ 2\ 3 \\\end{aligned} \right |$ = 9

他们的代数余子式就是剩下右下角的四个数: $\begin{aligned}(-1)^{(1+2+2+3)} \end{aligned} \left| \begin{aligned} 0\ 3 \\ 0 \ 2 \end{aligned} \right |$ , =0

最后 1*1 + 6*-2 + 9* 0 = -11

线性代数行列式计算