15、基于梯度的图像对齐方法：原理与应用

基于梯度的图像对齐方法：原理与应用

图像对齐在计算机视觉领域中是一个基础且关键的问题，它对于许多任务，如目标检测、图像匹配等都有着重要的意义。传统的基于梯度的对齐方法通常仅使用像素强度，并且主要在受限的领域，如人脸、手写数字和建筑立面等进行评估，这使得它们难以吸引处理具有高类内变化的挑战性目标类别的更广泛视觉社区的关注。然而，实际上基于梯度的方法可以应用于需要密集采样稀疏特征来实现图像间有意义相似性的目标类别，并且简单实现的LK算法在许多具有挑战性的任务中也能取得不错的结果。

1. Lucas & Kanade算法

在解决图像对齐问题时，我们可以使用Lucas & Kanade（LK）算法。首先回顾对齐问题的公式，这次使用与图像函数选择无关的表示函数$R$：
$\hat{\Delta x} = \arg\min_{\Delta x} D{R(x + \Delta x)} + A{\Delta x}$ (12)
在LK算法中，常见的替换是：
$\hat{p} = \arg\min_{p} |R(p) - T(0)|_2^2$ (13)
其中，$p$是一组变形参数，通过变形函数来模拟变形向量$\Delta x$。$R(p)$的定义如下：
$R(p) =
\begin{bmatrix}
R{W(x_1; p)}\
\vdots\
R{W(x_D; p)}
\end{bmatrix}$ (14)
并且$W(x; p): \mathbb{R}^{2D} \to \mathbb{R}^P$。变形函数根据变形参数对变形向量进行约束，使得$x + \Delta x = W(x; p)$。在大