14、F2607 中离散对数计算的优化与实现

F2607 中离散对数计算的优化与实现

在密码学和数论领域，计算有限域中的离散对数是一个关键问题。本文将详细探讨在 F2607 中计算离散对数的相关算法及优化策略，包括参数选择、多项式筛选、大素数运用、分组筛选以及对筛选出的对进行因式分解等方面。

1. 参数选择

在进行离散对数计算时，需要选择合适的参数。对于 n = 607 的情况，选择的参数如下：
| 参数 | 值 |
| ---- | ---- |
| b | 23 |
| dA | 21 |
| dB | 28 |
| k | 4 |
| h | 152 |

对于 f1 的选择，X9 + X7 + X6 + X3 + X + 1 具有明显优势，它不仅是最小次数的候选多项式，而且只有小因子，可分解为 (X + 1)2(X2 + X + 1)2(X3 + X + 1)。基于这些参数，C 和 D 的次数分别为 173 和 112。

2. 多项式筛选算法

在最初的算法中，通过对允许范围内的所有对重复应用平滑性测试来定位平滑对。而 Gordon 和 McCurley 设计了一种高效的多项式筛选算法，其思路如下：
- 对于固定的 A，维护一个与待测试的不同对（即所有可能的 B）相关联的大整数数组（初始值为 0）。
- 设 g 为不可约多项式，将 deg g 加到满足 B ≡ AXh [g] 的 B 所关联的值上。
- 为了高效地进行筛选，需要快速遍历 g 的所有倍数。可以使用格雷码避免繁琐的多项式乘法。对于非零正整数 x，l(x) 表示 x 的二进制表示中最低有效位的索引（l(1) = 0，l