8、安全的人类身份识别协议解析

安全的人类身份识别协议解析

1. k个最小值之和问题

设 (z = \langle(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_k, y_k)\rangle) 是一组模 (n) 的整数对 ((x_i, y_i))。对于 (v \in {0, \ldots, 9}^n)，定义 (f(v, z)) 为：
[f(v, z) = \sum_{i = 1}^{k} \min{v[x_i], v[y_i]} \bmod 10]
k个最小值之和问题是：给定 (m) 对 ((v_1, u_1), \ldots, (v_m, u_m))，其中 (v_i \in {0, \ldots, 9}^n)，(u_i \in {0, \ldots, 9})，且 (k \log_{10} n \leq m \leq \binom{n}{2})，找到一个集合 (z)，使得对于所有 (i = 1, \ldots, m) 都有 (u_i = f(v_i, z))。

可以通过代数方法来解决这个问题，即形成如下方程组：
[\begin{bmatrix}
v_{1,1,2} & v_{1,1,3} & \cdots & v_{1,n - 1,n} \
v_{2,1,2} & \cdots & v_{2,i,j} & \cdots \
\vdots & \vdots & & \vdots \
v_{m,1,2} & \cdots & v_{m,i,j} & \cdots & v_{m,n - 1,n}
\end{bmatrix}