【做一道算一道】目标和

目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：
1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

思路

参考：代码随想录：目标和
我一开始想的是回溯，不过没想到把结果分成正数部分和负数部分，所以写不出来。
看了讲解大概明白了，记一下思考和想法吧。
首先是两个返回0的特殊条件
第一个：目标值的绝对值（可能有负）比给出的数组的值的总和更大。
显然加起来也到不了目标值，不成立。

if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案

这里我看的是把target拆开，设成立的情况里面取出来作正数的总和为x，则剩下作为负数的数字的总和就为sum-x，target=x-(sum-x);
所以
target+sum=x-(sum-x)+sum
=x-sum+x+sum
=2x
所以target+sum必定为偶数，一旦出现奇数就成立不了。

if ((target + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案

代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum=0;
        for(int i:nums){
            sum+=i;
        }
        int bagSize=(sum+target)/2;
        if(sum<abs(target)) return 0;
        if((sum+target)%2) return 0;

        vector<int> dp(bagSize+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=bagSize;j>=nums[i];j--){
                dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

对于背包问题来说，这里
dp[j]的含义是容量为j的空间中放满j的方案为dp[j]
至于为什么是倒序，是因为背包开始的空间是满的，会越放越少

对于这个题来说
背包的大小是成立时取出来的正数的总和x也就是(sum+target)/2
因为这个时候使得target=x-(sum-x)成立
而背包问题中的weight[i]就是nums[i]，每个数字的大小就是重量，放进去就减小了空间。

dp[j]+=dp[j-nums[i]];
这里的理解是，nums中的每个数字，有且只有挑选为正数序列和留作负数序列这两种情况。
而j是nums中挑选出来的作为正数的序列的和（背包空间）。这里dp[j-nums[i]]就是把nums[i]选为正数之后（放入背包），剩下的空间填满的情况数，再加上不挑选nums[i]（不放入背包），即nums[i]留作负数序列，那么留给正数的空间仍为j，dp[j]就是剩下j空间填满的情况数。
所以dp[j]+dp[j-nums[i]]就是遍历了nums[i]之后dp[j]的答案。

最后答案就是dp[bagsize]

dp[0]=1的原因，我的理解是空间为0的时候只有1种放法，就是不放。（强行理解）